Mostre que a função u é harmônica em um domínio apropriado D e determine a conjugada harmônica de u. Com essas funções construa a correspondente função holomorfa f=u+j v :
u(x, y)=2 x-2 x y

Passo 1

O enunciado dá a função \,u(x,y)=2x-2xy\, e pede duas coisas: (1) mostrar que u é harmônica em um domínio apropriado D; (2) determinar uma conjugada harmônica v de u e, com u e v, construir a função holomorfa correspondente f=u+jv.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de \,u(x,y)\,. Não há outras restrições dadas sobre D, então podemos escolher um domínio adequado onde exista conjugada harmônica global.

Passo 2

O que significa dizer que u é harmônica? Vou explicar devagar: uma função u(x,y) é harmônica em um domínio quando satisfaz a equação de Laplace, isto é quando a soma das segundas derivadas parciais em relação a x e a y é zero. Em notação,
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0.
Aqui u_{xx} é a segunda derivada parcial de u em relação a x e u_{yy} a segunda em relação a y. Essa é a verificação direta que vamos fazer agora.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de u. Primeiro a derivada parcial em relação a x:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(2x-2xy)=2-2y.
Agora a derivada parcial em relação a y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x-2xy)=-2x.
Agora as segundas derivadas:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_x)=\frac{\partial}{\partial x}(2-2y)=0,
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2x)=0.
Portanto a Laplaciana é
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0+0=0.

Passo 4

Conclusão sobre harmonicidade e escolha de D: como \Delta u=0 em todos os pontos de \mathbb{R}^2, a função u é harmônica em qualquer domínio aberto de \mathbb{R}^2. Para garantir existência de uma conjugada harmônica v definida globalmente (sem cortar o domínio), precisamos que o domínio seja simplesmente conexo. Uma escolha natural e simples é
D=\mathbb{R}^2
ou, mais cautelosamente, qualquer domínio aberto simplesmente conexo D\subseteq\mathbb{R}^2. Para nossa construção explícita podemos trabalhar em todo \mathbb{R}^2.

Passo 5

Como encontrar a conjugada v? Vou explicar a regra prática: se f=u+jv é holomorfa (aqui j é a unidade imaginária), então u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Essas duas equações são a condição para que u seja a parte real e v a parte imaginária de uma função holomorfa. Já calculamos u_x e u_y no Passo 3; agora usamos essas igualdades para determinar v.

Passo 6

Use a primeira equação de Cauchy–Riemann u_x=v_y. Temos u_x=2-2y, logo
v_y=2-2y.
Integramos em relação a y (trata-se de uma primitiva em y), introduzindo uma função de integração que pode depender de x:
v(x,y)=\int (2-2y)\,dy = 2y - y^2 + \varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (pois a derivada em y de \varphi(x) é zero).

Passo 7

Agora usamos a segunda equação de Cauchy–Riemann u_y=-v_x. Calculamos u_y=-2x, então
- v_x = -2x \quad\Longrightarrow\quad v_x = 2x.
Compute v_x a partir da expressão encontrada para v:
v_x = \frac{\partial}{\partial x}(2y - y^2 + \varphi(x)) = \varphi'(x).
Igualando obtenho \varphi'(x)=2x. Integrando em x:
\varphi(x)=\int 2x\,dx = x^2 + C,
onde C é constante real. Assim
v(x,y)=2y - y^2 + x^2 + C.

Passo 8

Verificação rápida (importante em prova): calcule v_y e v_x para confirmar as CR:
v_y = 2 - 2y = u_x,\qquad v_x = 2x = -u_y.
Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas e v é realmente uma conjugada harmônica de u. A constante C não altera nada (é apenas um deslocamento da parte imaginária).

Passo 9

Construa a função holomorfa f. Tomando v(x,y)=x^2+2y-y^2+C, a função f é
f(x,y)=u(x,y)+j\,v(x,y)=\bigl(2x-2xy\bigr)+j\bigl(x^2+2y-y^2+C\bigr).
Uma forma alternativa conveniente é escrever f em termos da variável complexa z=x+j y. Podemos calcular f'(z)=u_x+j v_x e integrar: usando u_x=2-2y e v_x=2x e reescrevendo em termos de z obtém-se
f'(z)=2+2j z,
de onde
f(z)=2z + j z^2 + \tilde C,
com \tilde C constante complexa (equivalente à constante real C acima na parte imaginária). Ao expandir 2z + j z^2 recobre-se exatamente u e v encontrados.

Resposta

D=\mathbb{R}^2 (ou qualquer domínio aberto simplesmente conexo de \mathbb{R}^2)\n
v(x,y)=x^2+2y-y^2+C, onde C é constante real\n
f(x,y)=u+jv=(2x-2xy)+j(x^2+2y-y^2+C)\n
ou, em termos de z=x+j y, f(z)=2z + j z^2 + \tilde C, com \tilde C constante complexa.

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