Mostre que a função
é harmônica em um domínio apropriado
e determine a conjugada harmônica de
. Com essas funções construa a correspondente função holomorfa
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) mostrar que
é harmônica em um domínio apropriado
; (2) determinar uma conjugada harmônica
de
e, com
e
, construir a função holomorfa correspondente
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de . Não há outras restrições dadas sobre
, então podemos escolher um domínio adequado onde exista conjugada harmônica global.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
Passo 2
O que significa dizer que
é harmônica? Vou explicar devagar: uma função
é harmônica em um domínio quando satisfaz a equação de Laplace, isto é quando a soma das segundas derivadas parciais em relação a
e a
é zero. Em notação,
Aqui
é a segunda derivada parcial de
em relação a
e
a segunda em relação a
. Essa é a verificação direta que vamos fazer agora.
Passo 3
Calcule as derivadas parciais de
. Primeiro a derivada parcial em relação a
:
Agora a derivada parcial em relação a
:
Agora as segundas derivadas:
Portanto a Laplaciana é
Passo 4
Conclusão sobre harmonicidade e escolha de
: como
em todos os pontos de
, a função
é harmônica em qualquer domínio aberto de
. Para garantir existência de uma conjugada harmônica
definida globalmente (sem cortar o domínio), precisamos que o domínio seja simplesmente conexo. Uma escolha natural e simples é
ou, mais cautelosamente, qualquer domínio aberto simplesmente conexo
. Para nossa construção explícita podemos trabalhar em todo
.
Passo 5
Como encontrar a conjugada
? Vou explicar a regra prática: se
é holomorfa (aqui
é a unidade imaginária), então
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Essas duas equações são a condição para que
seja a parte real e
a parte imaginária de uma função holomorfa. Já calculamos
e
no Passo 3; agora usamos essas igualdades para determinar
.
Passo 6
Use a primeira equação de Cauchy–Riemann
. Temos
, logo
Integramos em relação a
(trata-se de uma primitiva em
), introduzindo uma função de integração que pode depender de
:
onde
é uma função arbitrária de
(pois a derivada em
de
é zero).
Passo 7
Agora usamos a segunda equação de Cauchy–Riemann
. Calculamos
, então
Compute
a partir da expressão encontrada para
:
Igualando obtenho
. Integrando em
:
onde
é constante real. Assim
Passo 8
Verificação rápida (importante em prova): calcule
e
para confirmar as CR:
Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas e
é realmente uma conjugada harmônica de
. A constante
não altera nada (é apenas um deslocamento da parte imaginária).
Passo 9
Construa a função holomorfa
. Tomando
, a função
é
Uma forma alternativa conveniente é escrever
em termos da variável complexa
. Podemos calcular
e integrar: usando
e
e reescrevendo em termos de
obtém-se
de onde
com
constante complexa (equivalente à constante real
acima na parte imaginária). Ao expandir
recobre-se exatamente
e
encontrados.
Resposta
ou, em termos de