Determine a derivada da função definida por
e os pontos em que f é derivável.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) calcular a derivada da função
e (b) indicar os pontos onde
é derivável. A função dada é
Observações iniciais que vêm do enunciado:
-
é a unidade imaginária (ou seja, ). - A expressão
só está bem definida para . Portanto a expressão dada só faz sentido imediatamente para .
Nada mais será resolvido neste passo — só organizei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (válidas em análise complexa exatamente como em cálculo real):
- Regra do produto: se
e são diferenciáveis num ponto, então . - Regra da cadeia: se
é diferenciável e é diferenciável, então .
Vou aplicar essas regras ae . Ambas são diferenciáveis para ( é inteira e é composição de com , definida e diferenciável quando ).
Passo 3
Calcule primeiro a derivada de
para
usando a regra da cadeia.
A função interior é . Derivada de
é
A função interior é
A derivada de
é
. Aplicando a cadeia:
Passo 4
Agora aplique a regra do produto a
e
. Para
:
Calculando cada parte:
e já temos
. Substituindo,
Simplificando a segunda parcela:
Logo
Passo 5
Como
e
é constante, multiplico o resultado por
. Assim, para
,
Esse cálculo vale somente para
porque usamos
e a própria
exige
.
Passo 6
Falta discutir a derivabilidade em
. Primeiro: a expressão original
não está definida em
(porque
não tem valor em
). Poderíamos perguntar se existe extensão removível e derivável em
; para isso, examine o comportamento em série de potências. Use a expansão em série de Taylor/Laurent de
:
Multiplicando por
temos
Essa série tem termos com potências negativas para todos
(por exemplo, o termo com
é
), o que mostra que
é uma singularidade essencial — não é uma singularidade removível nem um pólo finito. Portanto não existe forma de definir
de modo que
fique holomorfa em
. Conclusão:
não é derivável em
.
Resposta
A função
é derivável para todos os
e não é derivável em
(
é uma singularidade essencial ).