Determine a derivada da função definida por f(z)=j z^{2} e^{\frac{1}{z}} e os pontos em que f é derivável.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) calcular a derivada da função f e (b) indicar os pontos onde f é derivável. A função dada é
f(z)=j\,z^{2}e^{\frac{1}{z}}.
Observações iniciais que vêm do enunciado:
  • j é a unidade imaginária (ou seja, j^{2}=-1).
  • A expressão e^{\frac{1}{z}} só está bem definida para z\neq 0. Portanto a expressão dada só faz sentido imediatamente para z\neq 0.
    Nada mais será resolvido neste passo — só organizei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (válidas em análise complexa exatamente como em cálculo real):
  • Regra do produto: se g e h são diferenciáveis num ponto, então (g\cdot h)' = g'\cdot h + g\cdot h'.
  • Regra da cadeia: se u é diferenciável e v é diferenciável, então \dfrac{d}{dz}u(v(z)) = u'(v(z))\cdot v'(z).
    Vou aplicar essas regras a g(z)=z^{2} e h(z)=e^{1/z}. Ambas são diferenciáveis para z\neq 0 ( z^{2} é inteira e e^{1/z} é composição de e^{w} com w=1/z, definida e diferenciável quando z\neq 0 ).

Passo 3

Calcule primeiro a derivada de h(z)=e^{\frac{1}{z}} para z\neq 0 usando a regra da cadeia.
A função interior é v(z)=\frac{1}{z}. Derivada de v é
v'(z)=\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{z}\right) = -\frac{1}{z^{2}}.
A derivada de u(w)=e^{w} é u'(w)=e^{w}. Aplicando a cadeia:
\frac{d}{dz}e^{\frac{1}{z}} = e^{\frac{1}{z}}\cdot\left(-\frac{1}{z^{2}}\right) = -\frac{1}{z^{2}}e^{\frac{1}{z}}.

Passo 4

Agora aplique a regra do produto a g(z)=z^{2} e h(z)=e^{\frac{1}{z}}. Para z\neq 0:
\frac{d}{dz}\big(z^{2}e^{\frac{1}{z}}\big) = (z^{2})'\,e^{\frac{1}{z}} + z^{2}\,\frac{d}{dz}e^{\frac{1}{z}}.
Calculando cada parte: (z^{2})' = 2z e já temos \dfrac{d}{dz}e^{\frac{1}{z}} = -\dfrac{1}{z^{2}}e^{\frac{1}{z}}. Substituindo,
\frac{d}{dz}\big(z^{2}e^{\frac{1}{z}}\big) = 2z\,e^{\frac{1}{z}} + z^{2}\left(-\frac{1}{z^{2}}e^{\frac{1}{z}}\right).
Simplificando a segunda parcela:
z^{2}\left(-\frac{1}{z^{2}}e^{\frac{1}{z}}\right) = -e^{\frac{1}{z}}.
Logo
\frac{d}{dz}\big(z^{2}e^{\frac{1}{z}}\big) = 2z\,e^{\frac{1}{z}} - e^{\frac{1}{z}} = e^{\frac{1}{z}}(2z-1).

Passo 5

Como f(z)=j\cdot\big(z^{2}e^{\frac{1}{z}}\big) e j é constante, multiplico o resultado por j. Assim, para z\neq 0,
f'(z) = j\,e^{\frac{1}{z}}(2z-1).
Esse cálculo vale somente para z\neq 0 porque usamos v'(z)=-1/z^{2} e a própria e^{1/z} exige z\neq 0.

Passo 6

Falta discutir a derivabilidade em z=0. Primeiro: a expressão original f(z)=jz^{2}e^{1/z} não está definida em z=0 (porque e^{1/z} não tem valor em z=0). Poderíamos perguntar se existe extensão removível e derivável em 0; para isso, examine o comportamento em série de potências. Use a expansão em série de Taylor/Laurent de e^{1/z}:
e^{\frac{1}{z}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{-n}.
Multiplicando por z^{2} temos
z^{2}e^{\frac{1}{z}} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^{2-n}.
Essa série tem termos com potências negativas para todos n\ge 3 (por exemplo, o termo com n=3 é \dfrac{1}{3!}z^{-1}), o que mostra que z=0 é uma singularidade essencial — não é uma singularidade removível nem um pólo finito. Portanto não existe forma de definir f(0) de modo que f fique holomorfa em 0. Conclusão: f não é derivável em z=0.

Resposta

f'(z)=j\,e^{\frac{1}{z}}(2z-1),\quad z\neq 0
A função f é derivável para todos os z\neq 0 e não é derivável em z=0 ( z=0 é uma singularidade essencial ).

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