Verifique que
e determine a composta
.
e
Passo 1
O enunciado fornece as funções e a condição:
-
. -
, com domínio dado por (ou seja, ).
O que pede o problema:
- Verificar se
. - Determinar a composta
(e indicar o domínio de ).
Passo 2
Encontrar a imagem de
(isto é,
).
- Primeiro calcule
pois é o único ponto excluído do domínio de :
- A função
é uma função afim (reta) que, se tivesse domínio , seria sobrejetora em . Como o domínio real foi somente retirado o ponto , a única imagem que deixa de aparecer é . Logo a imagem é todos os reais exceto :
Para deixar isso totalmente claro: dado um valor
, resolve-se
para
:
Se
então
, portanto esse
pertence ao domínio de
e produz
. Isso mostra que todo
está em
. O único valor não obtido é
.
Passo 3
Determinar o domínio de
,
.
-
é um polinômio ( ). Polinômios estão definidos para todo .
Agora comparar
com
:
Portanto a inclusão pedida é verdadeira.
Passo 4
Definir a composta e seu domínio.
- A composta
é dada por . - O domínio de
é . Como , a condição é sempre satisfeita, logo o domínio de é simplesmente o domínio de :
Passo 5
Calcular explicitamente
substituindo
em
.
- Escrevendo a composição:
- Substituindo
:
- Calcular passo a passo o quadrado:
- Multiplicando e somando os termos:
- Somando tudo:
Portanto
simplificada é
, definida para
.