Verifique que I m_{f} \subset D_{g} e determine a composta h(x)=g(f(x)).
g(x)=-x^{2}+3 x+1 e f(x)=2 x-3 \quad x \neq 1

Passo 1

O enunciado fornece as funções e a condição:
  • g(x)=-x^{2}+3x+1.
  • f(x)=2x-3, com domínio dado por x\neq 1 (ou seja, D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}).
O que pede o problema:
  1. Verificar se \operatorname{Im}_{f}\subset D_{g}.
  2. Determinar a composta h(x)=g(f(x)) (e indicar o domínio de h).

Passo 2

Encontrar a imagem de f (isto é, \operatorname{Im}_{f}).
  • Primeiro calcule f(1) pois x=1 é o único ponto excluído do domínio de f:
f(1)=2\cdot1-3=-1.
  • A função f(x)=2x-3 é uma função afim (reta) que, se tivesse domínio \mathbb{R}, seria sobrejetora em \mathbb{R}. Como o domínio real foi somente retirado o ponto x=1, a única imagem que deixa de aparecer é f(1)=-1. Logo a imagem é todos os reais exceto -1:
\operatorname{Im}_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.
Para deixar isso totalmente claro: dado um valor y\neq -1, resolve-se y=2x-3 para x:
x=\frac{y+3}{2}.
Se y\neq -1 então x=\dfrac{y+3}{2}\neq 1, portanto esse x pertence ao domínio de f e produz y. Isso mostra que todo y\neq -1 está em \operatorname{Im}_{f}. O único valor não obtido é y=-1.

Passo 3

Determinar o domínio de g, D_{g}.
  • g é um polinômio ( g(x)=-x^{2}+3x+1). Polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}.
D_{g}=\mathbb{R}.
Agora comparar \operatorname{Im}_{f} com D_{g}:
\operatorname{Im}_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\subset \mathbb{R}=D_{g}.
Portanto a inclusão pedida é verdadeira.

Passo 4

Definir a composta e seu domínio.
  • A composta h=g\circ f é dada por h(x)=g(f(x)).
  • O domínio de h é \{x\in D_{f}\mid f(x)\in D_{g}\}. Como D_{g}=\mathbb{R}, a condição f(x)\in D_{g} é sempre satisfeita, logo o domínio de h é simplesmente o domínio de f:
D_{h}=D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 5

Calcular explicitamente h(x)=g(f(x)) substituindo f(x)=2x-3 em g.
  • Escrevendo a composição:
h(x)=g(f(x))=-(f(x))^{2}+3f(x)+1.
  • Substituindo f(x)=2x-3:
h(x)=-(2x-3)^{2}+3(2x-3)+1.
  • Calcular passo a passo o quadrado:
(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9.
  • Multiplicando e somando os termos:
-(2x-3)^{2}=-4x^{2}+12x-9,
3(2x-3)=6x-9.
  • Somando tudo:
h(x)=-4x^{2}+12x-9+6x-9+1=-4x^{2}+18x-17.
Portanto h(x) simplificada é -4x^{2}+18x-17, definida para x\neq 1.

Resposta

\operatorname{Im}_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\subset D_{g}=\mathbb{R} (sim, a inclusão vale).
h(x)=g(f(x))=-4x^{2}+18x-17,\quad D_{h}=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

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