Verifique que
e determine a composta
.
e
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede duas coisas:
- Verificar se
. - Determinar a composta
.
Vou listar claramente as informações fornecidas e o que cada símbolo significa:
-
é o domínio da função , ou seja, o conjunto de para os quais está bem definida. -
é a imagem (conjunto de valores atingidos) da função . - A composta
é a função que aplica primeiro e depois , quando isso for possível.
Passo 2
Determinar
e
.
A função
é uma função polinomial (reta). Para funções polinomiais o domínio natural é todo o conjunto dos números reais. Logo
Para achar a imagem de
mostra-se que, dado qualquer
, existe
tal que
. Resolver
em função de
dá
, que é real para todo
. Portanto todos os reais são atingidos por
, isto é,
Passo 3
Determinar
.
A função
tem um denominador que não pode ser zero. Então exclui-se o ponto onde
, ou seja
. Portanto
Passo 4
Verificar a inclusão
.
Já vimos que
e
. Como
mas
, não vale a inclusão. Em palavras: a imagem de
contém o valor
, para o qual
não está definida. Portanto
Passo 5
Explicar quando a composta
existe e qual é seu domínio.
A composta
está bem definida para os
de
que satisfazem
. Ou seja o domínio de
é
Isto garante que, ao aplicar
em
, o valor
seja um número onde
pode ser avaliada.
Passo 6
Aplicar a condição para encontrar
neste caso.
Temos
e
. A condição
é
. Então
Logo
Passo 7
Calcular explicitamente
.
Substitui-se
na expressão de
:
Lembrando que essa expressão só vale para
, porque em
o denominador ficaria zero.