Verifique que I m_{f} \subset D_{g} e determine a composta h(x)=g(f(x)).
g(x)=\frac{2}{x-2} e f(x)=x+1

Passo 1

O enunciado dá as funções
g(x)=\frac{2}{x-2}\qquad\text{e}\qquad f(x)=x+1
e pede duas coisas:
  1. Verificar se \mathrm{Im}_f \subset D_g.
  2. Determinar a composta h(x)=g(f(x)).
Vou listar claramente as informações fornecidas e o que cada símbolo significa:
  • D_g é o domínio da função g, ou seja, o conjunto de x para os quais g(x) está bem definida.
  • \mathrm{Im}_f é a imagem (conjunto de valores atingidos) da função f.
  • A composta h=g\circ f é a função que aplica primeiro f e depois g, quando isso for possível.

Passo 2

Determinar D_f e \mathrm{Im}_f.
A função f(x)=x+1 é uma função polinomial (reta). Para funções polinomiais o domínio natural é todo o conjunto dos números reais. Logo
D_f=\mathbb{R}.
Para achar a imagem de f mostra-se que, dado qualquer y\in\mathbb{R}, existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Resolver y=x+1 em função de x x=y-1, que é real para todo y\in\mathbb{R}. Portanto todos os reais são atingidos por f, isto é,
\mathrm{Im}_f=\mathbb{R}.

Passo 3

Determinar D_g.
A função g(x)=\dfrac{2}{x-2} tem um denominador que não pode ser zero. Então exclui-se o ponto onde x-2=0, ou seja x=2. Portanto
D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Passo 4

Verificar a inclusão \mathrm{Im}_f \subset D_g.
Já vimos que \mathrm{Im}_f=\mathbb{R} e D_g=\mathbb{R}\setminus\{2\}. Como 2\in\mathrm{Im}_f mas 2\notin D_g, não vale a inclusão. Em palavras: a imagem de f contém o valor 2, para o qual g não está definida. Portanto
\mathrm{Im}_f \not\subset D_g.

Passo 5

Explicar quando a composta g\circ f existe e qual é seu domínio.
A composta h=g\circ f está bem definida para os x de D_f que satisfazem f(x)\in D_g. Ou seja o domínio de h é
D_h=\{x\in D_f \mid f(x)\in D_g\}.
Isto garante que, ao aplicar f em x, o valor f(x) seja um número onde g pode ser avaliada.

Passo 6

Aplicar a condição para encontrar D_h neste caso.
Temos D_f=\mathbb{R} e f(x)=x+1. A condição f(x)\in D_g é x+1\neq 2. Então
x+1\neq 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq 1.
Logo
D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

Passo 7

Calcular explicitamente h(x)=g(f(x)).
Substitui-se f(x) na expressão de g:
h(x)=g(f(x))=\frac{2}{\,f(x)-2\,}=\frac{2}{(x+1)-2}=\frac{2}{x-1}.
Lembrando que essa expressão só vale para x\in D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}, porque em x=1 o denominador ficaria zero.

Resposta

\mathrm{Im}_f\not\subset D_g (pois \mathrm{Im}_f=\mathbb{R} e 2\notin D_g).
\;h(x)=\dfrac{2}{x-1},\quad D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}.

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