Determinar o máximo e o mínimo absolutos das funções abaixo:
z=x^3+3 x y^2-15 x-12 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ z = x^{3} + 3xy^{2} - 15x - 12y $ e precisamos encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos dessa função. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, onde vamos precisar usar derivadas parciais para identificar esses pontos especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e a $ y $. Isso é importante porque os pontos onde essas derivadas são zero podem ser candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
x
E a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
3x^2 + 3y^2 - 15 = 0 (1)
6xy - 12 = 0 (2)
Vamos resolver a equação (2) para $ x $:
x
Agora, substituímos $ x = \frac{2}{y} $ na equação (1):
6xy - 12 = 0 implies xy = 2 implies x = 2y
x = 2y
3(2y)^2 + 3y^2 - 15 = 0
Multiplicando tudo por $ y^{2} $ para se livrar do denominador:
3(4y^2) + 3y^2 - 15 = 0
Organizando:
12y^2 + 3y^2 - 15 = 0
Dividindo por 3:
y^2
Vamos resolver essa equação quadrática em $ y^{2} $:
12 + 3y^4 - 15y^2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
3y^4 - 15y^2 + 12 = 0
Então, temos:
y^4 - 5y^2 + 4 = 0
y^2
Agora, encontramos $ y $, vamos achar $ x $ correspondente usando $ x = \frac{2}{y} $:
Para $ y = 2 $:
(y^2)^2 - 5y^2 + 4 = 0
Para $ y = -2 $:
y^2 = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Para $ y = 1 $:
y^2 = 4 implies y = pm 2
Para $ y = -1 $:
y^2 = 1 implies y = pm 1
Então, os pontos críticos são: $ (1, 2) $, $ (-1, -2) $, $ (2, 1) $ e $ (-2, -1) $.

Passo 4

Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
partial^2 zpartial x^2 = 6x
partial^2 zpartial y^2 = 6x
partial^2 zpartial x partial y = 6y
O determinante da Hessiana ($ D $) é:
D
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico:
  1. Para $ (1, 2) $:
D = (partial^2 zpartial x^2)(partial^2 zpartial y^2) - (partial^2 zpartial x partial y)^2
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
  1. Para $ (-1, -2) $:
D
Também é um ponto de sela.
  1. Para $ (2, 1) $:
(1, 2)
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = 12 > 0 $, é um ponto de mínimo.
  1. Para $ (-2, -1) $:
D = (6 cdot 1)(6 cdot 1) - (6 cdot 2)^2 = 6 times 6 - 12^2 = 36 - 144 = -108
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -12 < 0 $, é um ponto de máximo.

Resposta

Os pontos de máximo absoluto são $ (-2, -1) $ e $ (2, 1) $, e não há mínimos absolutos para a função dada.

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