Determinar o máximo e o mínimo absolutos das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ z = x^{3} + 3xy^{2} - 15x - 12y $ e precisamos encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos dessa função. Isso envolve um pouco de cálculo multivariável, onde vamos precisar usar derivadas parciais para identificar esses pontos especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e a $ y $. Isso é importante porque os pontos onde essas derivadas são zero podem ser candidatos a máximos ou mínimos.
A derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver a equação (2) para $ x $:
Agora, substituímos $ x = \frac{2}{y} $ na equação (1):
Multiplicando tudo por $ y^{2} $ para se livrar do denominador:
Organizando:
Dividindo por 3:
Vamos resolver essa equação quadrática em $ y^{2} $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
Agora, encontramos $ y $, vamos achar $ x $ correspondente usando $ x = \frac{2}{y} $:
Para $ y = 2 $:
Para $ y = -2 $:
Para $ y = 1 $:
Para $ y = -1 $:
Então, os pontos críticos são: $ (1, 2) $, $ (-1, -2) $, $ (2, 1) $ e $ (-2, -1) $.
Passo 4
Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, usamos a segunda derivada e o determinante da matriz Hessiana.
Primeiro, vamos calcular as segundas derivadas:
O determinante da Hessiana ($ D $) é:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico:
- Para $ (1, 2) $:
Como $ D < 0 $, é um ponto de sela.
- Para $ (-1, -2) $:
Também é um ponto de sela.
- Para $ (2, 1) $:
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = 12 > 0 $, é um ponto de mínimo.
- Para $ (-2, -1) $:
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} = -12 < 0 $, é um ponto de máximo.
Resposta
Os pontos de máximo absoluto são $ (-2, -1) $ e $ (2, 1) $, e não há mínimos absolutos para a função dada.