3-Mostre que a função f(z)=x\left(x^{2}-3 y^{2}+7\right)+i y\left(3 x^{2}-y^{2}+7\right) é inteira, e portanto analitica em todo plano.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
f(z)=x\bigl(x^{2}-3 y^{2}+7\bigr)+i\,y\bigl(3 x^{2}-y^{2}+7\bigr),
onde z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. O que se pede é: mostrar que f é inteira, isto é, que f é analítica em todo o plano complexo.
Informações relevantes dadas:
  • A função está escrita em termos das partes reais x e y.
  • As partes real e imaginária de f são, respectivamente, u(x,y)=x\bigl(x^{2}-3 y^{2}+7\bigr) \qquad\text{e}\qquad v(x,y)=y\bigl(3 x^{2}-y^{2}+7\bigr).
  • Pedido: provar que f é analítica em todo \mathbb{C} (ou seja, inteira).

Passo 2

Roteiro didático (o que vou fazer e por que): há duas maneiras simples e complementares para mostrar que f é inteira.
  1. Reescrever f em termos de z (ou seja, ver se f é um polinômio em z). Polinômios em z são fáceis: são diferenciáveis em todo o plano, logo inteiros. Esta é a via mais direta.
  2. Como reforço didático, verificar explicitamente as equações de Cauchy–Riemann para as funções u e v, mostrando que as derivadas parciais são contínuas e satisfazem as equações — outro modo clássico de provar que f é holomorfa (analítica).
Vou fazer primeiro a reescrita algébrica (mais enxuta) e depois fazer a verificação por Cauchy–Riemann para consolidar o entendimento.

Passo 3

Reescrevendo f como polinômio em z.
Começo calculando z^{3} para z=x+iy. Lembrando a expansão do cubo,
z^{3}=(x+iy)^{3}.
Faço a expansão passo a passo:
(x+iy)^{2}=x^{2}+2ixy-(y^{2}),
(x+iy)^{3}=(x+iy)(x^{2}+2ixy-y^{2}).
Multiplicando termo a termo:
(x+iy)^{3}=x(x^{2}+2ixy-y^{2})+iy(x^{2}+2ixy-y^{2}).
Separando parte real e imaginária (fazendo as multiplicações):
x(x^{2}+2ixy-y^{2})=x^{3}+2i x^{2}y - x y^{2},
iy(x^{2}+2ixy-y^{2})=i x^{2}y + i\cdot 2i x y^{2} - i y^{3}.
Como i\cdot 2i = 2i^{2} = -2, isso dá
iy(x^{2}+2ixy-y^{2})=i x^{2}y -2 x y^{2} - i y^{3}.
Somando as duas parcelas:
parte real:
\Re(z^{3}) = x^{3} - 3 x y^{2},
parte imaginária:
\Im(z^{3}) = 3 x^{2} y - y^{3}.
Portanto
z^{3} = \bigl(x^{3}-3xy^{2}\bigr) + i\bigl(3x^{2}y - y^{3}\bigr).
Agora observo z^{3}+7z. Como 7z=7x + i\,7y, somando obtemos
z^{3}+7z = \bigl(x^{3}-3xy^{2}+7x\bigr) + i\bigl(3x^{2}y - y^{3} + 7y\bigr).
Comparando com as partes dadas u(x,y) e v(x,y), vê-se que elas coincidem com as partes real e imaginária de z^{3}+7z. Logo
f(z)=z^{3}+7z.

Passo 4

Conclusão imediata pela forma polinomial e explicação pedagógica.
Polinômios em z (expressões do tipo \sum_{k=0}^{n} a_{k} z^{k} com constantes a_{k}\in\mathbb{C}) são funções diferenciáveis em todo o plano complexo: a derivada de z^{k} é k z^{k-1} e operações de soma e multiplicação preservam a diferenciabilidade. Assim, f(z)=z^{3}+7z é diferenciável em todo \mathbb{C}, isto é, inteira.
Para completar a intuição e praticar, vou também verificar as equações de Cauchy–Riemann explicitamente (método alternativo).

Passo 5

Verificação pelas equações de Cauchy–Riemann.
Recordando: as equações de Cauchy–Riemann dizem que, se u(x,y) e v(x,y) têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem
u_x = v_y \qquad\text{e}\qquad u_y = -v_x,
então a função f=u+iv é holomorfa nessa vizinhança. Se isso vale em todo \mathbb{R}^{2}, então f é holomorfa em todo \mathbb{C} (inteira).
Calculo as derivadas parciais de u e v. Lembrando u(x,y)=x^{3}-3xy^{2}+7x e v(x,y)=3x^{2}y-y^{3}+7y.
Derivadas parciais de u:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-3xy^{2}+7x\bigr)=3x^{2}-3y^{2}+7,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-3xy^{2}+7x\bigr)=-6xy.
Derivadas parciais de v:
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y-y^{3}+7y\bigr)=6xy,
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y-y^{3}+7y\bigr)=3x^{2}-3y^{2}+7.
Comparando:
u_x = 3x^{2}-3y^{2}+7 = v_y,
u_y = -6xy = -v_x.
Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas para todo (x,y). As derivadas parciais são polinomiais (logo contínuas em todo \mathbb{R}^{2}), portanto pela condição clássica, f é holomorfa em todo \mathbb{C}.
Além disso, a fórmula para a derivada complexa em termos de parciais é
f'(z)=u_x + i v_x.
Substituindo obtém-se
f'(z)=(3x^{2}-3y^{2}+7)+i(6xy).
Se quiser relacionar isso com a expressão em z, note que isto é exatamente 3z^{2}+7, que é a derivada direta de z^{3}+7z. Isso confirma a consistência dos dois métodos.

Passo 6

Resumo final e entusiasmo: foi fácil depois de ver a estrutura. Reescrever a função em termos de z é a maneira mais rápida na prova — aqui ela saiu naturalmente como um polinômio de grau 3 mais termo linear, e a verificação pelas equações de Cauchy–Riemann serve como checagem e prática para a técnica.

Resposta

A função f é inteira (analítica em todo o plano), pois f(z)=z^{3}+7z.

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