3-Mostre que a função
é inteira, e portanto analitica em todo plano.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
onde
com
. O que se pede é: mostrar que
é inteira, isto é, que
é analítica em todo o plano complexo.
Informações relevantes dadas:
- A função está escrita em termos das partes reais
e . - As partes real e imaginária de
são, respectivamente, - Pedido: provar que
é analítica em todo (ou seja, inteira).
Passo 2
Roteiro didático (o que vou fazer e por que): há duas maneiras simples e complementares para mostrar que
é inteira.
-
Reescrever
em termos de (ou seja, ver se é um polinômio em ). Polinômios em são fáceis: são diferenciáveis em todo o plano, logo inteiros. Esta é a via mais direta. -
Como reforço didático, verificar explicitamente as equações de Cauchy–Riemann para as funções
e , mostrando que as derivadas parciais são contínuas e satisfazem as equações — outro modo clássico de provar que é holomorfa (analítica).
Vou fazer primeiro a reescrita algébrica (mais enxuta) e depois fazer a verificação por Cauchy–Riemann para consolidar o entendimento.
Passo 3
Reescrevendo
como polinômio em
.
Começo calculando
para
. Lembrando a expansão do cubo,
Faço a expansão passo a passo:
Multiplicando termo a termo:
Separando parte real e imaginária (fazendo as multiplicações):
Como
, isso dá
Somando as duas parcelas:
parte real:
parte real:
parte imaginária:
Portanto
Agora observo
. Como
, somando obtemos
Comparando com as partes dadas
e
, vê-se que elas coincidem com as partes real e imaginária de
. Logo
Passo 4
Conclusão imediata pela forma polinomial e explicação pedagógica.
Polinômios em
(expressões do tipo
com constantes
) são funções diferenciáveis em todo o plano complexo: a derivada de
é
e operações de soma e multiplicação preservam a diferenciabilidade. Assim,
é diferenciável em todo
, isto é, inteira.
Para completar a intuição e praticar, vou também verificar as equações de Cauchy–Riemann explicitamente (método alternativo).
Passo 5
Verificação pelas equações de Cauchy–Riemann.
Recordando: as equações de Cauchy–Riemann dizem que, se
e
têm derivadas parciais contínuas numa vizinhança de um ponto e satisfazem
então a função
é holomorfa nessa vizinhança. Se isso vale em todo
, então
é holomorfa em todo
(inteira).
Calculo as derivadas parciais de
e
. Lembrando
e
.
Derivadas parciais de
:
Derivadas parciais de
:
Comparando:
Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas para todo
. As derivadas parciais são polinomiais (logo contínuas em todo
), portanto pela condição clássica,
é holomorfa em todo
.
Além disso, a fórmula para a derivada complexa em termos de parciais é
Substituindo obtém-se
Se quiser relacionar isso com a expressão em
, note que isto é exatamente
, que é a derivada direta de
. Isso confirma a consistência dos dois métodos.
Passo 6
Resumo final e entusiasmo: foi fácil depois de ver a estrutura. Reescrever a função em termos de
é a maneira mais rápida na prova — aqui ela saiu naturalmente como um polinômio de grau 3 mais termo linear, e a verificação pelas equações de Cauchy–Riemann serve como checagem e prática para a técnica.
Resposta
A função
é inteira (analítica em todo o plano), pois
.