- O topógrafo deseja determinar a altura de um poste de iluminação. Para isso, fixa uma estaca a
de altura e observa que, a 12 m de distância, o topo da estaca e o topo do poste alinham exatamente com a linha de visada do teodolito.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (coloquei exatamente o que aparece, em símbolos):
- Foi fixada uma estaca com altura
. - Há uma observação com o teodolito em que, a
de distância, “o topo da estaca e o topo do poste alinham exatamente com a linha de visada do teodolito”.
O que o problema pede: - Determinar a altura do poste (ou seja, encontrar um valor numérico para a altura do poste).
Observação importante nesta etapa: a frase “a
de distância” está ambígua — não diz claramente se os
são a distância entre a estaca e o poste, ou entre o teodolito e o poste, ou entre o teodolito e a estaca. Essa diferença é essencial para a solução numérica. Ainda assim, já anotei os dados fornecidos.
Passo 2
Vou explicar quais dados são realmente necessários para resolver o problema e por que a ambiguidade impede um resultado numérico direto.
Para usar a observação “topos alinhados” usamos geometria de retas e triângulos semelhantes: a linha de visada do teodolito (reta) passa pelos três pontos: o ponto do teodolito (olho do observador), o topo da estaca e o topo do poste. Para transformar isso numa fórmula numérica precisa precisamos saber, além da altura da estaca, as posições horizontais relativas desses três pontos. Em termos práticos, precisamos de pelo menos uma destas informações adicionais:
- a altura do ponto de visada do teodolito (altura do olho ou do instrumento acima do chão), e a distância horizontal do teodolito até a estaca; ou
- a altura do ponto de visada do teodolito e da distância do teodolito até o poste; ou
- a distância horizontal entre a estaca e o poste (se soubermos também a distância da estaca ao teodolito ou a altura do instrumento).
Sem pelo menos mais um dado numérico (distância horizontal entre pontos ou altura do instrumentista/teodolito), não é possível obter um valor numérico para a altura do poste: há infinitas configurações geométricas que fazem os três topos ficarem colineares.
Passo 3
Agora vou ensinar didaticamente o método que se usa quando os dados necessários existem: triângulos semelhantes. Vou introduzir variáveis e mostrar a fórmula geral que relaciona tudo — assim, se tu tiveres depois o dado que falta, saberás aplicar direto na prova.
Definições de variáveis (tudo em metros):
- Seja
a altura do ponto de visada do teodolito (altura do olho ou do instrumento acima do solo). - Seja
a altura da estaca; aqui . - Seja
a distância horizontal do teodolito até a estaca. - Seja
a distância horizontal do teodolito até o poste. - Seja
a altura do poste (o que queremos achar).
Geometricamente, como o topo da estaca, o topo do poste e o ponto de visada do teodolito estão colineares, os declives (inclinações) entre o olho e cada topo são iguais. Em fórmula isso se traduz por
Explicando: o numerador
é a diferença de altura entre o topo da estaca e o olho (pode ser positivo ou negativo dependendo de quem estiver mais alto); o denominador
é a distância horizontal correspondente; e a razão é exatamente o declive da reta de visada. Mesma coisa para
e
.
Isolando
nessa igualdade, obtemos a fórmula geral
Essa fórmula é a ferramenta principal: se souberes
,
e
(ou conheces
e
relacionados, por exemplo
se os
forem a distância estaca–poste), dá para calcular
imediatamente.
Passo 4
Vou aplicar a mesma fórmula a duas interpretações plausíveis do enunciado (é importante saber qual é a correta quando estiver na prova). Em cada caso mostro a fórmula final que tu usarias se tivesses os dados faltantes.
Interpretação A (os
são a distância entre a estaca e o poste).
- Então
. Substituindo em dá
Para obter um número precisamos conhecer
(altura do olho/instrumento) e
(distância do teodolito até a estaca).
Interpretação B (os
são a distância do teodolito até o poste).
- Então
e a fórmula fica
Aqui também falta
e
(distância do teodolito até a estaca).
Observação pedagógica simples: em ambos os casos o resultado depende de
e
. Se, por exemplo, o problema também dissesse que o teodolito está numa altura padrão
conhecida (ou que a estaca está exatamente no pé do teodolito, o que corresponde a
— mas note que
anula a fórmula por divisão por zero: isso demonstraria que essa configuração não faz sentido para medir assim), aí sim teríamos um valor numérico.
Passo 5
Para ficar prático: se tu me deres agora qualquer um dos dados que faltam (por exemplo, a distância horizontal entre o teodolito e a estaca, ou a altura do olho
, ou confirmar que os
referem-se a qual par de pontos), eu já aplico a fórmula acima e te mostro passo a passo a conta até a resposta numérica. Enquanto isso, deixo aqui um exemplo numérico ilustrativo (só como treino, não é o resultado do teu enunciado porque falta dado):
Exemplo ilustrativo (apenas para ver a fórmula em ação). Suponha que
(altitude do instrumento) e a estaca esteja a
do teodolito, e que os
sejam estaca–poste (interpretação A). Então
ou seja, nesse exemplo o poste sairia mais baixo — o que mostra que o sinal e a magnitude dependem fortemente de
e
. (Isto é só um exemplo numérico para treinar a manipulação da fórmula.)
Passo 6
Resumo prático para a prova (como agir se cair essa questão):
- Identifica e escreve claramente qual distância refere os
. - Marca as variáveis
como fiz acima. - Usa a relação de triângulos semelhantes
e isola
:
- Substitui os valores numéricos que forem dados e calcula. Sempre verifica sinais (se o olho está acima ou abaixo do topo da estaca) e unidades.
Resposta
Não é possível determinar a altura do poste com os dados fornecidos.