Questão 01. ( 2,5 pontos) Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente
. Após uma hora, observaram-se 1.000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, observaram-se 3000 núcleos. Determine a expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário
. Considere
.
Passo 1
O enunciado dá uma taxa de variação proporcional à quantidade pela equação
. Foram observados dois valores em tempos distintos:
-
(após hora). -
(após horas).
O que a questão pede: determinar a expressão para o número de núcleos
em função do tempo arbitrário
.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial
. Método: separação de variáveis (explico devagarinho).
Começo separando
e
:
Agora integro os dois lados. Lembre-se:
e
. Portanto
onde
é constante de integração. Exponenciando ambos os lados (isto é, aplicando
) obtemos
onde
é uma constante positiva que representa a quantidade quando
for tal que
(isso vai virar
somente se
for usado diretamente).
Resumo didático rápido: equações do tipo
têm solução exponencial. Aqui a constante é
, então a solução é da forma
. Se
a solução cresce; se
decresce.
Passo 3
Agora usamos os dados observados para encontrar
e
.
Das observações:
Passo 4
Elimino
dividindo a segunda equação pela primeira:
Logo
Observação interpretativa:
, então
. Como a equação original é
, ter
faz
, ou seja houve crescimento — isso explica o aumento de
para
.
Passo 5
Agora obtenho
usando
. Substituindo
:
Usando a identidade
e propriedades de potência:
Portanto
Passo 6
Substituo
e
na solução geral
. Primeiro transformo
usando
:
Então
Verificação rápida: para
dá
; para
dá
. Perfeito.
Se quiser a constante
numericamente, usando
, tem-se
o que confirma
(taxa efetiva de crescimento).