Questão 01. ( 2,5 pontos) Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente \frac{d Q}{d t}=-k \cdot Q(t). Após uma hora, observaram-se 1.000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, observaram-se 3000 núcleos. Determine a expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário \boldsymbol{t}. Considere 3^{\frac{1}{3}}=\mathbf{1}, \mathbf{4 4}.

Passo 1

O enunciado dá uma taxa de variação proporcional à quantidade pela equação \dfrac{dQ}{dt}=-k\cdot Q(t). Foram observados dois valores em tempos distintos:
  • \,Q(1)=1000 (após 1 hora).
  • \,Q(4)=3000 (após 4 horas).
O que a questão pede: determinar a expressão para o número de núcleos \,Q(t)\, em função do tempo arbitrário \,t.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial \dfrac{dQ}{dt}=-k\cdot Q(t). Método: separação de variáveis (explico devagarinho).
Começo separando Q e t:
\frac{dQ}{Q} = -k\,dt.
Agora integro os dois lados. Lembre-se: \displaystyle\int \frac{dQ}{Q}=\ln|Q|+C e \displaystyle\int -k\,dt=-k t + C. Portanto
\ln|Q| = -k t + C_1,
onde C_1 é constante de integração. Exponenciando ambos os lados (isto é, aplicando e^{(\cdot)}) obtemos
Q(t) = A\,e^{-k t},
onde A = e^{C_1} é uma constante positiva que representa a quantidade quando t for tal que e^{-k t}=1 (isso vai virar Q(0) somente se t=0 for usado diretamente).
Resumo didático rápido: equações do tipo \dfrac{dQ}{dt}=\text{const}\cdot Q têm solução exponencial. Aqui a constante é -k, então a solução é da forma Q(t)=A e^{-k t}. Se -k>0 a solução cresce; se -k<0 decresce.

Passo 3

Agora usamos os dados observados para encontrar A e k.
Das observações:
A e^{-k\cdot 1} = 1000 \qquad\text{e}\qquad A e^{-k\cdot 4} = 3000.

Passo 4

Elimino A dividindo a segunda equação pela primeira:
\frac{A e^{-4k}}{A e^{-k}} = e^{-3k} = \frac{3000}{1000}=3.
Logo
e^{-3k}=3 \quad\Rightarrow\quad -3k=\ln 3 \quad\Rightarrow\quad k=-\frac{1}{3}\ln 3.
Observação interpretativa: \ln 3>0, então k<0. Como a equação original é \dfrac{dQ}{dt}=-kQ, ter k<0 faz -k>0, ou seja houve crescimento — isso explica o aumento de 1000 para 3000.

Passo 5

Agora obtenho A usando A e^{-k}=1000. Substituindo k:
A = 1000\,e^{k} = 1000\,e^{-\frac{1}{3}\ln 3}.
Usando a identidade e^{\ln a}=a e propriedades de potência:
e^{-\frac{1}{3}\ln 3} = 3^{-\frac{1}{3}}.
Portanto
A = 1000\cdot 3^{-\frac{1}{3}}.

Passo 6

Substituo A e k na solução geral Q(t)=A e^{-k t}. Primeiro transformo e^{-k t} usando k=-\dfrac{1}{3}\ln 3:
e^{-k t}=e^{\left(\frac{1}{3}\ln 3\right)t}=3^{\frac{t}{3}}.
Então
Q(t)=1000\cdot 3^{-\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{t}{3}} = 1000\cdot 3^{\frac{t-1}{3}}.
Verificação rápida: para t=1 1000\cdot 3^{0}=1000; para t=4 1000\cdot 3^{1}=3000. Perfeito.
Se quiser a constante k numericamente, usando \ln 3\approx1{,}098612, tem-se
k\approx -\frac{1{,}098612}{3}\approx -0{,}366204,
o que confirma -k\approx 0{,}366204>0 (taxa efetiva de crescimento).

Resposta

Q(t)=1000\cdot 3^{\frac{t-1}{3}}

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