Mostre que a função
é contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função $ y = 4x + 3 $ é contínua em $ x = 2 $. Então, estamos trabalhando com funções contínuas, um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função $ f(x) $ é contínua em $ x = a $ se todas as seguintes condições forem verdadeiras:
- $ f(a) $ está definido.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para a função $ y = 4x + 3 $ em $ x = 2 $.
1. $ f(2) $ está definido:
Substituindo $ x $ por 2 na função:
Então, $ f(2) $ está definido e é igual a 11.
Passo 4
2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 existe:
Para funções lineares como $ y = 4x + 3 $, os limites existem em todos os pontos, porque não há saltos ou quebras na linha. Matemáticamente, podemos expressar isso como:
Portanto, o limite existe e é igual a 11.
Passo 5
3. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 é igual a $ f(2) $:
Já vimos que:
Como ambos são iguais, essa condição também está satisfeita.
Resposta
Como todas as condições para continuidade em $ x = 2 $ são atendidas, podemos concluir que a função $ y = 4x + 3 $ é contínua em $ x = 2 $.