Mostre que a função y=4 x+3 é contínua em x=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função $ y = 4x + 3 $ é contínua em $ x = 2 $. Então, estamos trabalhando com funções contínuas, um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função $ f(x) $ é contínua em $ x = a $ se todas as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. $ f(a) $ está definido.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para a função $ y = 4x + 3 $ em $ x = 2 $.
1. $ f(2) $ está definido:
Substituindo $ x $ por 2 na função:
y = 4x + 3
Então, $ f(2) $ está definido e é igual a 11.

Passo 4

2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 existe:
Para funções lineares como $ y = 4x + 3 $, os limites existem em todos os pontos, porque não há saltos ou quebras na linha. Matemáticamente, podemos expressar isso como:
f(x)
Portanto, o limite existe e é igual a 11.

Passo 5

3. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 2 é igual a $ f(2) $:
Já vimos que:
f(x)
Como ambos são iguais, essa condição também está satisfeita.

Resposta

Como todas as condições para continuidade em $ x = 2 $ são atendidas, podemos concluir que a função $ y = 4x + 3 $ é contínua em $ x = 2 $.

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