Mostre que as funções abaixo são bijetivas e determine a sua função inversa.
(a)
(a)
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
O objetivo é mostrar que ela é bijetiva (injetiva e sobrejetiva) e então determinar sua inversa. Para isso, vamos primeiro verificar que a imagem nunca atinge
, depois provar injetividade e finalmente sobrejetividade, encontrando a expressão de
.
Passo 2
Verificação de que
nunca vale
: suponha que
isto é,
Multiplicando por
(não nulo no domínio) obtemos
o que é um absurdo. Logo
o que mostra que a imagem de
realmente está em
.
Passo 3
Prova de injetividade: suponha que
. Então
Fazendo produto cruzado,
Cancelando
e
de ambos os lados resulta
Portanto
é injetiva.
Passo 4
Prova de sobrejetividade e obtenção de
: seja
. Queremos achar
tal que
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
segue
Como
, o denominador é diferente de zero, e o valor de
existe e é único. Ainda, se tentássemos
teríamos
impossível. Logo
e de fato
. Concluímos que
é sobrejetiva e que sua inversa é
Resposta
A função
é bijetiva e