Mostre que as funções abaixo são bijetivas e determine a sua função inversa.
(a) f: R backslash-2 R backslash1, f(x)=x-3x+2

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f:Rsetminus-2toRsetminus1, f(x)=x-3x+2
O objetivo é mostrar que ela é bijetiva (injetiva e sobrejetiva) e então determinar sua inversa. Para isso, vamos primeiro verificar que a imagem nunca atinge ,1, depois provar injetividade e finalmente sobrejetividade, encontrando a expressão de f^-1.

Passo 2

Verificação de que f nunca vale 1: suponha que
f(x)=1,
isto é,
x-3x+2=1
Multiplicando por x+2 (não nulo no domínio) obtemos
x-3 = x+2 Longrightarrow -3=2,
o que é um absurdo. Logo
f(x)neq1forall,xneq-2,
o que mostra que a imagem de f realmente está em Rsetminus1.

Passo 3

Prova de injetividade: suponha que f(x1)=f(x2). Então
x1-3x1+2=x2-3x2+2
Fazendo produto cruzado,
(x1-3)(x2+2)=(x2-3)(x1+2)
x1x2+2x1-3x2-6 = x1x2+2x2-3x1-6
Cancelando x1x2 e -6 de ambos os lados resulta
2x1-3x2 = 2x2-3x1 Longrightarrow 5x1=5x2 Longrightarrow x1=x2
Portanto f é injetiva.

Passo 4

Prova de sobrejetividade e obtenção de f^-1: seja yinRsetminus1. Queremos achar xneq-2 tal que
x-3x+2=y
Multiplicando ambos os lados por x+2 e isolando x segue
y(x+2)=x-3 Longrightarrow yx+2y = x-3 Longrightarrow x(y-1) = -(2y+3) Longrightarrow x = -2y+3y-1
Como yneq1, o denominador é diferente de zero, e o valor de x existe e é único. Ainda, se tentássemos x=-2 teríamos
-2y+3y-1=-2 Longrightarrow 2y+3=2y-2,
impossível. Logo xneq-2 e de fato f(x)=y. Concluímos que f é sobrejetiva e que sua inversa é
f^-1(y)=-2y+3y-1

Resposta

A função f é bijetiva e
f^-1(x) = -2x+3x-1, f^-1:Rsetminus1toRsetminus-2

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