Prove por indução que
para todo
e conclua daí que a sequência
é decrescente a partir do terceiro termo.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que
e então mostrar que a sequência
é decrescente a partir de
.
Conteúdo: indução em desigualdades e critério de monotonicidade via comparação dos termos consecutivos.
Conteúdo: indução em desigualdades e critério de monotonicidade via comparação dos termos consecutivos.
Passo 2
(Caso base) Para
temos
logo a desigualdade vale em
.
Passo 3
(Passo de indução) Suponha que
para algum
. Queremos mostrar
Observe a razão
Como
, conclui-se
, logo
Além disso
Portanto
e usando a hipótese de indução
Isso completa o passo de indução.
Passo 4
(Monotonicidade da sequência) Para mostrar
basta notar que
e esta última desigualdade já foi provada para todo
.
Resposta
A desigualdade
vale para todo
e, consequentemente, a sequência
é decrescente a partir do terceiro termo.