Prove por indução que
(n+1n)^n <= n
para todo n >= 3 e conclua daí que a sequência 1, raiz2, raiz[3]3, raiz[4]4, cdots é decrescente a partir do terceiro termo.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n>=3, que
l(tfracn+1nr)^n <= n
e então mostrar que a sequência
an = raiz[n]n
é decrescente a partir de n=3.
Conteúdo: indução em desigualdades e critério de monotonicidade via comparação dos termos consecutivos.

Passo 2

(Caso base) Para n=3 temos
l(tfrac3+13r)^3 = l(tfrac43r)^3 = tfrac6427approx2,37 <= 3,
logo a desigualdade vale em n=3.

Passo 3

(Passo de indução) Suponha que
l(tfracn+1nr)^n <= n
para algum n>=3. Queremos mostrar
l(tfracn+2,n+1,r)^n+1<= n+1
Observe a razão
R =l(tfracn+2n+1r)^n+1l(tfracn+1nr)^n =l(tfracn(n+2)(n+1)^2r)^n;cdot;tfracn+2n+1
Como n(n+2)<(n+1)^2, conclui-se tfracn(n+2)(n+1)^2<1, logo
l(tfracn(n+2)(n+1)^2r)^n<1
Além disso
tfracn+2n+1<= tfracn+1n pois n(n+2)<=(n+1)^2
Portanto
R<1cdot tfracn+1n =tfracn+1n,
e usando a hipótese de indução
l(tfracn+2n+1r)^n+1 =R;l(tfracn+1nr)^n <= tfracn+1n,n = n+1
Isso completa o passo de indução.

Passo 4

(Monotonicidade da sequência) Para mostrar an+1<= an basta notar que
an+1<= an ;Long<=ftrightarrow; (n+1)^tfrac1,n+1,<= n^tfrac1n ;Long<=ftrightarrow; (n+1)^n<= n^n+1 ;Long<=ftrightarrow; l(tfracn+1nr)^n<= n,
e esta última desigualdade já foi provada para todo n>=3.

Resposta

A desigualdade l(tfracn+1nr)^n<= n vale para todo n>=3 e, consequentemente, a sequência raiz[n]n é decrescente a partir do terceiro termo.

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