Mostre que as funções abaixo são contínuas em todo .
a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função h:RtoR dada por h(x)=|x^2+2x+1| é contínua em todo R. Vamos usar que polinômios e o valor absoluto são contínuos e que a composição de funções contínuas também é contínua.
Passo 2
Definimos primeiro a função interna p(x)=x^2+2x+1. Sabemos pela teoria que toda função polinomial é contínua em R, pois é obtida por soma e produto da função identidade e de constantes.
Passo 3
Definimos em seguida a função g(x)=|x|. Também é um fato conhecido que o valor absoluto é contínuo em R, pois satisfaz limtto a|t|=|a| para todo ainR.
Passo 4
Observamos que h(x)=gl(p(x)r), isto é, h é a composição de p com g. Como p é contínua em R e g é contínua em R, pela propriedade de composição de funções contínuas concluímos que h é contínua em R.
Resposta
A função h(x)=|x^2+2x+1| é composição de um polinômio contínuo e do valor absoluto, logo é contínua em todo R.