Mostre que as funções abaixo são contínuas em todo R.
a) h(x)=|x^2+2 x+1|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função h:RtoR dada por h(x)=|x^2+2x+1| é contínua em todo R. Vamos usar que polinômios e o valor absoluto são contínuos e que a composição de funções contínuas também é contínua.

Passo 2

Definimos primeiro a função interna p(x)=x^2+2x+1. Sabemos pela teoria que toda função polinomial é contínua em R, pois é obtida por soma e produto da função identidade e de constantes.

Passo 3

Definimos em seguida a função g(x)=|x|. Também é um fato conhecido que o valor absoluto é contínuo em R, pois satisfaz limtto a|t|=|a| para todo ainR.

Passo 4

Observamos que h(x)=gl(p(x)r), isto é, h é a composição de p com g. Como p é contínua em R e g é contínua em R, pela propriedade de composição de funções contínuas concluímos que h é contínua em R.

Resposta

A função h(x)=|x^2+2x+1| é composição de um polinômio contínuo e do valor absoluto, logo é contínua em todo R.

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