Seja f:[-1,1] R tal que f(x)=x^3-cos (pi x)+1. Mostre que f assume o valor 32.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f: [-1,1] → ℝ dada por f(x)=x^3-cos(pi x)+1 assume o valor 3/2. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário, e vamos precisar usar a continuidade de f em [-1,1] e comparar valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

A função f é soma de um polinômio x^3, da função cosseno composta com a função linear pi x e da constante 1. Cada uma dessas funções é contínua em ℝ, logo f é contínua em [-1,1].

Passo 3

Calcular f nos pontos extremos do intervalo:
Calcular f(-1):
f(-1)=(-1)^3-cos(-pi)+1=-1-cos(pi)+1=-1-(-1)+1=1
Calcular f(1):
f(1)=1^3-cos(pi)+1=1-(-1)+1=3

Passo 4

Observamos que f(-1)=1 e que f é contínua em [-1,1]. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe cin(-1,1) tal que f(c)=tfrac32.

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(-1,1) tal que f(c)=tfrac32.

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