Seja
tal que
. Mostre que
assume o valor
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f: [-1,1] → ℝ dada por
assume o valor
. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário, e vamos precisar usar a continuidade de f em [-1,1] e comparar valores nos extremos do intervalo.
Passo 2
A função f é soma de um polinômio
, da função cosseno composta com a função linear
e da constante 1. Cada uma dessas funções é contínua em ℝ, logo
é contínua em
.
Passo 3
Calcular f nos pontos extremos do intervalo:
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Passo 4
Observamos que
e que
é contínua em
. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe
tal que
.
Resposta
Pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
.