Mostre que as funções abaixo são homogêneas
h(x, y)=x^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a função $ h(x, y) = \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ é homogênea. Isso está ligado ao estudo de funções homogêneas na matemática, que basicamente trata de funções onde, se você escalar as variáveis de entrada por um fator, a saída também escala de uma maneira específica. Vamos precisar entender o que é função homogênea e aplicar isso pra verificar se nossa função $ h(x, y) $ se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea. Uma função $ f(x, y) $ é dita homogênea de grau $ n $ se, ao multiplicar cada variável por um escalar $ t $, a função toda é multiplicada por $ t^{n} $. Em fórmula, fica assim:
f(x, y)
No nosso caso, queremos ver se $ h(tx, ty) $ pode ser escrito como $ t^{n} h(x, y) $ para algum valor de $ n $.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função $ h(x, y) $. Substituindo $ x $ por $ tx $ e $ y $ por $ ty $, temos:
h(x, y)
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevamos $ tx $ e $ ty $ ao quadrado:
x
Substituindo de volta na função:
tx

Passo 4

Agora, podemos fatorar o $ t^{2} $ no denominador:
t^2
Os $ t^{2} $ no numerador e denominador se cancelam:
h(tx, ty) = t^2x^2t^2(x^2 + y^2)

Passo 5

Observamos que após toda a simplificação, a expressão $ h(tx, ty) $ ficou igual a $ h(x, y) $:
h(tx, ty)
Isso significa que:
h(x, y)
Porque $ t^{0} = 1 $, então realmente a função não é multiplicada por nenhum fator de $ t $.

Resposta

A função $ h(x, y) = \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ é homogênea de grau zero.

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