Mostre que as funções abaixo são homogêneas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que a função $ h(x, y) = \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ é homogênea. Isso está ligado ao estudo de funções homogêneas na matemática, que basicamente trata de funções onde, se você escalar as variáveis de entrada por um fator, a saída também escala de uma maneira específica. Vamos precisar entender o que é função homogênea e aplicar isso pra verificar se nossa função $ h(x, y) $ se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea. Uma função $ f(x, y) $ é dita homogênea de grau $ n $ se, ao multiplicar cada variável por um escalar $ t $, a função toda é multiplicada por $ t^{n} $. Em fórmula, fica assim:
No nosso caso, queremos ver se $ h(tx, ty) $ pode ser escrito como $ t^{n} h(x, y) $ para algum valor de $ n $.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função $ h(x, y) $. Substituindo $ x $ por $ tx $ e $ y $ por $ ty $, temos:
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, elevamos $ tx $ e $ ty $ ao quadrado:
Substituindo de volta na função:
Passo 4
Agora, podemos fatorar o $ t^{2} $ no denominador:
Os $ t^{2} $ no numerador e denominador se cancelam:
Passo 5
Observamos que após toda a simplificação, a expressão $ h(tx, ty) $ ficou igual a $ h(x, y) $:
Isso significa que:
Porque $ t^{0} = 1 $, então realmente a função não é multiplicada por nenhum fator de $ t $.
Resposta
A função $ h(x, y) = \frac{x{2}}{x{2}+y^{2}} $ é homogênea de grau zero.