Seja uma função real descrita por
.
Determine todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
Determine todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
. Nosso objetivo aqui é encontrar todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções com múltiplas variáveis e aplicar algumas regras básicas de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
, tratando
como uma constante, e depois derivar em relação a
, tratando
como uma constante.
Passo 3
Vamos começar com
. A função
tem duas partes:
e
. Derivando cada parte em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a usando a regra da cadeia:
Então, juntando as duas partes:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Novamente, a função tem duas partes:
-
Derivada de
em relação a : (Porqueé tratado como constante em relação a .) -
Derivada de
em relação a usando a regra da cadeia:
Então, juntando as duas partes:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos para as derivadas de segunda ordem. Precisamos encontrar
,
e
.
Passo 6
Vamos começar com
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
Lembre-se de que:
Derivando cada termo:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a usando a regra do quociente: Simplificando:
Então, juntando os dois termos:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
. Isso significa derivar
em relação a
.
Lembre-se de que:
Derivando em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : (Porqueé tratado como constante em relação a .) -
Derivada de
em relação a usando a regra da cadeia:
Então:
Passo 8
Por último, vamos encontrar
. Isso significa derivar
em relação a
.
Lembre-se de que:
Derivando em relação a
usando a regra do quociente:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são: