Seja uma função real descrita por f(x, y)=raizx+raiz16-x^2-y^2.
Determine todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordens da função dada.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, f(x, y) = raizx + raiz16 - x^2 - y^2. Nosso objetivo aqui é encontrar todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar funções com múltiplas variáveis e aplicar algumas regras básicas de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, partial fpartial x e partial fpartial y. Isso significa que vamos derivar f em relação a x, tratando y como uma constante, e depois derivar em relação a y, tratando x como uma constante.

Passo 3

Vamos começar com partial fpartial x. A função f(x, y) tem duas partes: raizx e raiz16 - x^2 - y^2. Derivando cada parte em relação a x:
  • Derivada de raizx em relação a x:
    ddx raizx = 12raizx
  • Derivada de raiz16 - x^2 - y^2 em relação a x usando a regra da cadeia:
    ddx raiz16 - x^2 - y^2 = 12raiz16 - x^2 - y^2 cdot (-2x) = -xraiz16 - x^2 - y^2
Então, juntando as duas partes:
partial fpartial x = 12raizx - xraiz16 - x^2 - y^2

Passo 4

Agora, vamos derivar f(x, y) em relação a y para encontrar partial fpartial y. Novamente, a função tem duas partes:
  • Derivada de raizx em relação a y:
    ddy raizx = 0
    (Porque x é tratado como constante em relação a y.)
  • Derivada de raiz16 - x^2 - y^2 em relação a y usando a regra da cadeia:
    ddy raiz16 - x^2 - y^2 = 12raiz16 - x^2 - y^2 cdot (-2y) = -yraiz16 - x^2 - y^2
Então, juntando as duas partes:
partial fpartial y = 0 - yraiz16 - x^2 - y^2 = -yraiz16 - x^2 - y^2

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos para as derivadas de segunda ordem. Precisamos encontrar partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x partial y e partial^2 fpartial y^2.

Passo 6

Vamos começar com partial^2 fpartial x^2. Isso significa que vamos derivar partial fpartial x em relação a x.
Lembre-se de que:
partial fpartial x = 12raizx - xraiz16 - x^2 - y^2
Derivando cada termo:
  • Derivada de 12raizx em relação a x:
    ddx ( 12raizx ) = -14x^3/2
  • Derivada de -xraiz16 - x^2 - y^2 em relação a x usando a regra do quociente:
    ddx ( -xraiz16 - x^2 - y^2 ) = -raiz16 - x^2 - y^2 - x cdot ( -xraiz16 - x^2 - y^2 )16 - x^2 - y^2
    Simplificando:
    -raiz16 - x^2 - y^2 + x^2raiz16 - x^2 - y^216 - x^2 - y^2 = -16 - y^2(16 - x^2 - y^2)^3/2
Então, juntando os dois termos:
partial^2 fpartial x^2 = -14x^3/2 - 16 - y^2(16 - x^2 - y^2)^3/2

Passo 7

Agora, vamos encontrar partial^2 fpartial x partial y. Isso significa derivar partial fpartial x em relação a y.
Lembre-se de que:
partial fpartial x = 12raizx - xraiz16 - x^2 - y^2
Derivando em relação a y:
  • Derivada de 12raizx em relação a y:
    ddy ( 12raizx ) = 0
    (Porque x é tratado como constante em relação a y.)
  • Derivada de -xraiz16 - x^2 - y^2 em relação a y usando a regra da cadeia:
    ddy ( -xraiz16 - x^2 - y^2 ) = -x cdot ( -y(16 - x^2 - y^2)^3/2 ) = xy(16 - x^2 - y^2)^3/2
Então:
partial^2 fpartial x partial y = xy(16 - x^2 - y^2)^3/2

Passo 8

Por último, vamos encontrar partial^2 fpartial y^2. Isso significa derivar partial fpartial y em relação a y.
Lembre-se de que:
partial fpartial y = -yraiz16 - x^2 - y^2
Derivando em relação a y usando a regra do quociente:
ddy ( -yraiz16 - x^2 - y^2 ) = -raiz16 - x^2 - y^2 - y cdot ( -yraiz16 - x^2 - y^2 )16 - x^2 - y^2
Simplificando:
-16 - x^2(16 - x^2 - y^2)^3/2

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) = raizx + raiz16 - x^2 - y^2 são:
partial fpartial x = 12raizx - xraiz16 - x^2 - y^2
partial fpartial y = -yraiz16 - x^2 - y^2
partial^2 fpartial x^2 = -14x^3/2 - 16 - y^2(16 - x^2 - y^2)^3/2
partial^2 fpartial x partial y = xy(16 - x^2 - y^2)^3/2
partial^2 fpartial y^2 = -16 - x^2(16 - x^2 - y^2)^3/2

Exercícios relacionados