Seja a função real de duas variáveis f(x, y)=ln (x^2-2 y).
Calcule as imagens dos pontos (3, 92) e (3, 72) tanto na função f(x, y) como aproximadamente utilizando a equação encontrada no item (b). O que você conclui?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, estamos lidando com uma função de duas variáveis, que é basicamente uma função que depende de dois inputs, no caso, $ x $ e $ y $. A função que temos é $ f(x, y) = \ln(x^{2} - 2y) $. Nosso objetivo é calcular o valor dessa função para os pontos $ \left(3, \frac{9}{2}\right) $ e $ \left(3, \frac{7}{2}\right) $. Além disso, vamos fazer uma aproximação usando uma equação que provavelmente é uma linearização (como a derivada parcial encontrada no item (b) que você mencionou). Para isso, vamos precisar entender como calcular a função dada e como aplicar a aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função $ f(x, y) $ para o ponto $ \left(3, \frac{9}{2}\right) $. Substituímos $ x = 3 $ e $ y = \frac{9}{2} $ na função:
f(x, y)
Calculando dentro do logaritmo:
(3, 92)
Então temos:
x = 3
Aqui percebemos um problema: o logaritmo de zero não está definido, ou seja, é indefinido. Portanto, $ f\left(3, \frac{9}{2}\right) $ não existe dentro do domínio da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ f(x, y) $ para o ponto $ \left(3, \frac{7}{2}\right) $. Substituindo $ x = 3 $ e $ y = \frac{7}{2} $:
f(x, y)
Calculando dentro do logaritmo:
(3, 72)
Então:
x = 3
Portanto, $ f\left(3, \frac{7}{2}\right) $ vale aproximadamente 0,6931.

Passo 4

Agora, vamos fazer uma aproximação usando a equação encontrada no item (b). Embora não tenhamos o enunciado completo do item (b), geralmente, em exercícios desse tipo, a aproximação é feita usando a linearização ou a derivada parcial da função em um ponto específico.
Suponhamos que o item (b) tenha encontrado a linearização de $ f(x, y) $ em torno do ponto $ \left(3, \frac{7}{2}\right) $. A fórmula geral da linearização é:
f(x, y)
Onde $ (a, b) $ é o ponto de expansão e $ f_x $, $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
(3, 72)
No ponto $ \left(3, \frac{7}{2}\right) $:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Então, a linearização fica:
(a, b)
Agora, vamos usar essa linearização para aproximar o valor de $ f $ no ponto $ \left(3, \frac{9}{2}\right) $:
fx

Passo 5

Comparando os resultados:
  • O valor exato de $ f\left(3, \frac{9}{2}\right) $ é indefinido porque o logaritmo de zero não existe.
  • A aproximação usando a linearização nos deu $ L\left(3, \frac{9}{2}\right) \approx -0,3069 $.
Isso nos mostra que a aproximação linear pode nos dar uma ideia de como a função se comporta perto de um ponto, mas não substitui o cálculo exato, especialmente em casos onde a função não está definida.

Resposta

O valor exato de $ f\left(3, \frac{9}{2}\right) $ é indefinido, e a aproximação usando a linearização resulta em aproximadamente -0,3069. Já $ f\left(3, \frac{7}{2}\right) $ vale cerca de 0,6931. Portanto, a aproximação linear nos ajuda a estimar valores próximos, mas é importante verificar a validade da função nos pontos considerados.

Exercícios relacionados