Verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se as derivadas parciais mistas de
em relação a
e
são iguais, ou seja,
. Isso envolve utilizar conceitos de cálculo de derivadas parciais e derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. A função dada é
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da cadeia.
A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
. Aqui,
, então
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Temos
. Para derivar isso em relação a
, usamos a regra da potência:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas começando com a derivada parcial de
em relação a
. A função ainda é
.
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
. Temos
.
Derivando em relação a
:
Resposta
Conseguimos ver que
. Portanto,
é igual a
.