Mostre que as funções
dos Exercs. 5 a 7 são harmônicas em todo o plano. Determine a função harmônica conjugada e a função
em cada caso:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é harmônica em
, encontrar sua conjugada harmônica
e, por fim, montar a função analítica
. Vamos usar teoria de funções de variável complexa: verificar a Laplaciana de
e aplicar as equações de Cauchy–Riemann.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de
:
Passo 3
Verifique a harmonicidade de
computando a Laplaciana:
Como
,
é harmônica.
Passo 4
Para achar a conjugada
, usamos as equações de Cauchy–Riemann:
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Impondo
obtemos:
Escolhendo
, fica
Logo a função analítica é
Resposta
f(x,y)=x-4xy,+,i\bigl(2x2+y-2y2\bigr)