Mostre que as funções u dos Exercs. 5 a 7 são harmônicas em todo o plano. Determine a função harmônica conjugada e a função f=u+iv em cada caso:
u=x-4xy.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função u(x,y)=x-4xy é harmônica em R^2, encontrar sua conjugada harmônica v(x,y) e, por fim, montar a função analítica f=u+iv. Vamos usar teoria de funções de variável complexa: verificar a Laplaciana de u e aplicar as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de u:
ux=partialpartial x(x-4xy)=1-4y,
uy=partialpartial y(x-4xy)=-4x

Passo 3

Verifique a harmonicidade de u computando a Laplaciana:
De
Como De, u é harmônica.

Passo 4

Para achar a conjugada v(x,y), usamos as equações de Cauchy–Riemann:
vx=-uy=4x,
vy=ux=1-4y
Integramos vx=4x em relação a x:
v(x,y)=integral 4x,dx=2x^2+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Impondo vy=1-4y obtemos:
ddy[2x^2+h(y)]=h'(y)=1-4yimplies h(y)=y-2y^2+C
Escolhendo C=0, fica
v(x,y)=2x^2+y-2y^2
Logo a função analítica é
f(x,y)=u+iv=(x-4xy)+i(2x^2+y-2y^2)

Resposta

f(x,y)=x-4xy,+,i\bigl(2x2+y-2y2\bigr)

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