Mostre que
é a forma mais geral dos polinômios homogêneos e harmônicos do segundo grau em
e
. Determine sua função harmônica conjugada e a função
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o polinômio homogêneo de grau 2 em x e y que é harmônico tem obrigatoriamente a forma u(x,y)=a(x²–y²)+b
y
x
y, depois encontrar sua função harmônica conjugada v(x,y) e, finalmente, montar a função analítica f=u+iv.
y
x
y, depois encontrar sua função harmônica conjugada v(x,y) e, finalmente, montar a função analítica f=u+iv.
Passo 2
Uma forma geral de polinômios homogêneos de grau 2 é
Para que P seja harmônico precisa satisfazer a equação de Laplace
. Calculamos
A condição
impõe
, ou seja
. Logo
o que coincide com
trocando
e
.
Passo 3
Agora vamos achar a conjugada v(x,y) usando as equações de Cauchy–Riemann:
Como
temos
Então
e
Passo 4
Integramos
em relação a x:
onde
é função de y. Para determinar
usamos
:
deve ser igual a
. Logo
e
com constante arbitrária C. Assim
Passo 5
A função analítica é
ou, escolhendo C=0 para simplificar,
Podemos reescrever elegantemente em termos de z: notando que
temos exatamente as partes real e imaginária acima.
Passo 6
Logo concluímos que a forma mais geral de polinômio homogêneo harmônico de grau 2 é
, sua conjugada é
e a função analítica é
.
Resposta
u(x,y)=a(x2-y2)+bxy, v(x,y)=2axy-\tfrac{b}{2}(x2-y2)+C, f(z)=(a-\tfrac{i b}{2})z^2+C