Mostre que a(x^2-y^2)+bxy é a forma mais geral dos polinômios homogêneos e harmônicos do segundo grau em x e y. Determine sua função harmônica conjugada e a função f=u+iv.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio homogêneo de grau 2 em x e y que é harmônico tem obrigatoriamente a forma u(x,y)=a(x²–y²)+b
y
x
y, depois encontrar sua função harmônica conjugada v(x,y) e, finalmente, montar a função analítica f=u+iv.

Passo 2

Uma forma geral de polinômios homogêneos de grau 2 é
P(x,y)=A x^2+B x y+C y^2
Para que P seja harmônico precisa satisfazer a equação de Laplace uxx+uyy=0. Calculamos
uxx=2A,
uyy=2C
A condição uxx+uyy=0 impõe 2A+2C=0, ou seja C=-A. Logo
P(x,y)=A(x^2-y^2)+Bxy,
o que coincide com a(x^2-y^2)+bxy trocando A=a e B=b.

Passo 3

Agora vamos achar a conjugada v(x,y) usando as equações de Cauchy–Riemann:
ux=vy,
uy=-vx
Como
u(x,y)=a(x^2-y^2)+bxy,
temos
ux=2ax+by,
uy=-2ay+bx
Então
vy=2ax+by
e
vx=-( uy)=2ay-bx

Passo 4

Integramos vx em relação a x:
v(x,y)= integral(2ay-bx),dx=2a x y-b2x^2+h(y),
onde h(y) é função de y. Para determinar h(y) usamos vy:
vy=2ax+h'(y)
deve ser igual a 2ax+by. Logo h'(y)=by e
h(y)=b2y^2+C,
com constante arbitrária C. Assim
v(x,y)=2a x y-b2x^2+b2y^2+C

Passo 5

A função analítica é
f(x+iy)=u(x,y)+i v(x,y)
ou, escolhendo C=0 para simplificar,
f(z)=a(x^2-y^2)+bxy il(2axy-tfracb2(x^2-y^2)r)
Podemos reescrever elegantemente em termos de z: notando que
(a-tfraci b2)z^2=(a-tfraci b2)(x+iy)^2
temos exatamente as partes real e imaginária acima.

Passo 6

Logo concluímos que a forma mais geral de polinômio homogêneo harmônico de grau 2 é u=a(x^2-y^2)+bxy, sua conjugada é v=2axy-tfrac b2(x^2-y^2)+C e a função analítica é f(z)=(a-tfraci b2)z^2+C.

Resposta

u(x,y)=a(x2-y2)+bxy, v(x,y)=2axy-\tfrac{b}{2}(x2-y2)+C, f(z)=(a-\tfrac{i b}{2})z^2+C

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