Mostre que as funções
dos Exercs. 5 a 7 são harmônicas em todo o plano. Determine a função harmônica conjugada e a função
em cada caso:
.
Passo 1
Enunciado e conteúdo: A função dada é
. O que precisamos fazer é mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace (ou seja, é harmônica em
), encontrar uma função conjugada harmônica
usando as equações de Cauchy–Riemann, e então montar a função analítica
.
Passo 2
Verificação de que
é harmônica: Primeiro calculamos as derivadas parciais de segunda ordem.
Somando, temos
. Portanto
satisfaz a equação de Laplace e é harmônica.
Passo 3
Determinação de
pelas equações de Cauchy–Riemann: As equações são
Logo
Integramos
em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
implica
, logo
. Podemos tomar
para a conjugada canônica.
Passo 4
Construção de
: Com
e
, a função analítica é
e reconhecemos
(até constante imaginária).
Resposta
A função
é harmônica; uma conjugada harmônica é
; logo a função analítica é
.