Mostre que as funções u dos Exercs. 5 a 7 são harmônicas em todo o plano. Determine a função harmônica conjugada e a função f=u+iv em cada caso:
u=x^3-3xy^2.

Passo 1

Enunciado e conteúdo: A função dada é u(x,y)=x^3-3xy^2. O que precisamos fazer é mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace (ou seja, é harmônica em R^2), encontrar uma função conjugada harmônica v(x,y) usando as equações de Cauchy–Riemann, e então montar a função analítica f(z)=u+iv.

Passo 2

Verificação de que u é harmônica: Primeiro calculamos as derivadas parciais de segunda ordem.
ux = 3x^2 - 3y^2, uy = -6xy,
uxx = 6x, uyy = -6x
Somando, temos uxx+uyy=6x-6x=0. Portanto u satisfaz a equação de Laplace e é harmônica.

Passo 3

Determinação de v pelas equações de Cauchy–Riemann: As equações são
ux = vy, uy = -vx
Logo
vy = 3x^2 - 3y^2, vx = 6xy
Integramos vx em relação a x:
v(x,y) = integral 6xy,dx = 3x^2y + h(y)
Derivando em relação a y e igualando a vy:
vy = 3x^2 + h'(y) = 3x^2 -3y^2
implica h'(y)=-3y^2, logo h(y)=-y^3 + C. Podemos tomar C=0 para a conjugada canônica.

Passo 4

Construção de f(z): Com u(x,y)=x^3-3xy^2 e v(x,y)=3x^2y - y^3, a função analítica é
f(z) = u+iv = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3)
e reconhecemos f(z)=z^3 (até constante imaginária).

Resposta

A função u é harmônica; uma conjugada harmônica é v(x,y)=3x^2y - y^3; logo a função analítica é f(z)=u+iv=z^3.

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