O enunciado pede para mostrar que as funções , , e são linearmente independentes. Esse é um problema de análise de dependência linear em espaços de funções, e vamos usar o conceito de Wronskiano para resolver.
Passo 2
Em teoria de espaços de funções, dizemos que são linearmente independentes se a única combinação para todo ocorrer quando todos os . O Wronskiano é um determinante que, se não se anula em algum ponto, garante independência linear.
Passo 3
Precisamos das derivadas até a ordem . Vamos listar:
Passo 4
Agora montamos o Wronskiano como o determinante de uma matriz cujas linhas são as funções e suas derivadas:
Passo 5
Para calcular esse determinante, expandimos pela primeira coluna (onde só o primeiro elemento é não nulo). O menor complementar desse elemento é
-sin t & cos t & 1 -cos t & -sin t & 0 sin t & -cos t & 0 =1cdotl((-sin t)(-sin t)-(-cos t)(cos t)r)=sin^2t+cos^2t=1
Logo W(t)=1 para todo t.
Passo 6
Como o Wronskiano W(t)=1neq0 em todo o domínio, concluímos que f1, f2, f3, f4 são linearmente independentes.
Resposta
Como o Wronskiano W(t)=1 não é nulo, as quatro funções são linearmente independentes.