Mostre que as funções
l f1(t)=1 f2(t)=cos t f3(t)=sen t f4(t)=t
são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções f1(t)=1, f2(t)=cos t, f3(t)=sin t e f4(t)=t são linearmente independentes. Esse é um problema de análise de dependência linear em espaços de funções, e vamos usar o conceito de Wronskiano para resolver.

Passo 2

Em teoria de espaços de funções, dizemos que f1,dots,fn são linearmente independentes se a única combinação a1f1(t)+cdots+anfn(t)=0 para todo t ocorrer quando todos os ai=0. O Wronskiano é um determinante que, se não se anula em algum ponto, garante independência linear.

Passo 3

Precisamos das derivadas até a ordem n-1=3. Vamos listar:
f1=1, f1'=0, f1''=0, f1'''=0,
f2=cos t, f2'=-sin t, f2''=-cos t, f2'''=sin t,
f3=sin t, f3'=cos t, f3''=-sin t, f3'''=-cos t,
f4=t, f4'=1, f4''=0, f4'''=0

Passo 4

Agora montamos o Wronskiano W(t) como o determinante de uma matriz 4times4 cujas linhas são as funções e suas derivadas:
W(t)= 1 & cos t & sin t & t 0 & -sin t & cos t & 1 0 & -cos t & -sin t & 0 0 & sin t & -cos t & 0

Passo 5

Para calcular esse determinante, expandimos pela primeira coluna (onde só o primeiro elemento é não nulo). O menor complementar desse elemento é
-sin t & cos t & 1 -cos t & -sin t & 0 sin t & -cos t & 0 =1cdotl((-sin t)(-sin t)-(-cos t)(cos t)r)=sin^2t+cos^2t=1
Logo W(t)=1 para todo t.

Passo 6

Como o Wronskiano W(t)=1neq0 em todo o domínio, concluímos que f1, f2, f3, f4 são linearmente independentes.

Resposta

Como o Wronskiano W(t)=1 não é nulo, as quatro funções são linearmente independentes.

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