Sabendo que
é uma solução para a equação
encontre uma segunda solução para a equação.
Passo 1
O enunciado pede uma segunda solução independente para a EDO de segunda ordem
sabendo que uma solução já é
. O conteúdo é redução de ordem para encontrar a segunda solução de uma EDO homogênea sem termo em
.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a EDO no formato padrão
Dividindo tudo por
, obtemos
Logo
e
.
Passo 3
Para EDO do tipo
Como
, temos
, então
Passo 4
Substituindo
na integral:
Podemos desprezar a constante na construção de uma solução fundamental.
Passo 5
Agora montamos
Isso é linearmente independente de
e resolve a EDO.
Passo 6
Verificação rápida (opcional): substituindo
na equação original confirma que satisfaz a EDO.
Resposta
A segunda solução independente é
.