Sabendo que y1(x)=ctg(x) é uma solução para a equação
sen^2(x) y^prime prime-2 y=0
encontre uma segunda solução para a equação.

Passo 1

O enunciado pede uma segunda solução independente para a EDO de segunda ordem
sin^2(x),y'' - 2,y = 0
sabendo que uma solução já é y1(x)=cot x. O conteúdo é redução de ordem para encontrar a segunda solução de uma EDO homogênea sem termo em y'.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a EDO no formato padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
Dividindo tudo por sin^2(x), obtemos
y'' - 2sin^2(x),y = 0
Logo p(x)=0 e q(x)=-2/sin^2(x).

Passo 3

Para EDO do tipo
y'' + p(x)y' + q(x)y=0 \ncom uma solução y1, a fórmula de redução de ordem diz que
y2 = y1(x) integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx
Como p(x)=0, temos e^-integral p,dx=1, então
y2 = y1 integral 1y1^2,dx

Passo 4

Substituindo y1=cot x na integral:
integral 1cot^2 x,dx = integral tan^2 x,dx = integral (sec^2 x - 1),dx = tan x - x + C
Podemos desprezar a constante na construção de uma solução fundamental.

Passo 5

Agora montamos
y2 = cot x l(tan x - xr) = 1 - xcot x
Isso é linearmente independente de cot x e resolve a EDO.

Passo 6

Verificação rápida (opcional): substituindo y2=1 - xcot x na equação original confirma que satisfaz a EDO.

Resposta

A segunda solução independente é y2(x)=1 - xcot x.

Exercícios relacionados