Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
x y^prime prime+(2+x) y^prime+y=0, y1=1x

Passo 1

Vamos trabalhar com a EDO
x,y''+(2+x),y'+y=0,
sabendo que uma solução é y1=1/x. O assunto é EDO linear de segunda ordem e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão dividindo tudo por x:
y''+P(x),y'+Q(x),y=0,
onde
P(x)=2+xx=2x+1,
Q(x)=1x

Passo 3

No método de redução de ordem, procuramos uma segunda solução da forma y2=y1,v(x). Há uma fórmula direta que diz:
y2 = y1integral e^-integral P(x),dxy1^2,dx
Essa expressão já incorpora a derivação de v(x) e é a mais prática quando temos y1.

Passo 4

Agora calculamos as integrais envolvidas. Primeiro:
integral P(x),dx = integrall(2x+1r)dx = 2ln|x|+x
Logo,
e^-integral P(x)dx = e^-(2ln|x|+x) = x^-2e^-x
Como y1^2=(1/x)^2=x^-2, a fração dentro da integral fica
e^-integral Pdxy1^2 = x^-2e^-xx^-2 = e^-x
Portanto,
integral e^-xdx = -e^-x+C

Passo 5

Finalmente, montamos
y2 = y1l(-e^-xr) = -e^-xx
Como qualquer múltiplo não-nulo de uma solução também é solução, podemos escolher
y2=e^-xx.

Resposta

Uma segunda solução independente é y2=e^-xx.

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