Encontre uma segunda solução das EDOs homogênea abaixo, conhecendo uma solução.
Passo 1
Vamos trabalhar com a EDO
sabendo que uma solução é
. O assunto é EDO linear de segunda ordem e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar a segunda solução.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão dividindo tudo por
:
onde
Passo 3
No método de redução de ordem, procuramos uma segunda solução da forma
. Há uma fórmula direta que diz:
Essa expressão já incorpora a derivação de
e é a mais prática quando temos
.
Passo 4
Agora calculamos as integrais envolvidas. Primeiro:
Logo,
Como
, a fração dentro da integral fica
Portanto,
Passo 5
Finalmente, montamos
Como qualquer múltiplo não-nulo de uma solução também é solução, podemos escolher
.
Resposta
Uma segunda solução independente é
.