1 - Utilize o teste da raiz e verifique se a série converge ou diverge.
Teste a convergência da série sumn=1^infty(2 n+33 n+2)^n.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftyl(2n+33n+2r)^n
usando o teste da raiz. Lembrando que, dado an>=0, o teste da raiz diz que definimos
L = limntoinftyraiz[n]an,
e:
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aqui an=l((2n+3)/(3n+2)r)^n. Então
raiz[n]an =raiz[n]l(2n+33n+2r)^n =2n+33n+2

Passo 3

Calculamos o limite de 2n+33n+2 quando ntoinfty. Dividindo numerador e denominador por n,
2n+33n+2 =2 + 3/n3 + 2/n ;xrightarrow[ntoinfty]; 23
Logo
L = limntoinftyraiz[n]an = 23

Passo 4

Como L=tfrac23<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyl((2n+3)/(3n+2)r)^n converge (convergência absoluta pelo teste da raiz).

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