Questão 11
Mostre que os hiperplanos
e
são conjuntos convexos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o hiperplano
e o semiespaço
são conjuntos convexos. Para isso, vamos usar a definição de convexidade: um conjunto
é convexo se, para quaisquer
e todo
, a combinação
também pertence a
.
Passo 2
Mostrando que
é convexo. Seja
e
. Como
e
estão em
, temos
Considere
Então, pela linearidade de
,
Logo
, e portanto
é convexo.
Passo 3
Mostrando que
é convexo. Seja
e
. Da definição de
segue
Para
temos novamente, pela linearidade,
Assim
, mostrando que
é convexo.
Resposta
Ambos
e
são conjuntos convexos.