Questão 11

Mostre que os hiperplanos H=x: p^t x=k e H^+=x: p^t x <= k são conjuntos convexos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o hiperplano
H = ,x : p^tx = k
e o semiespaço
H^+ = ,x : p^tx <= k
são conjuntos convexos. Para isso, vamos usar a definição de convexidade: um conjunto CsubseteqR^n é convexo se, para quaisquer x,yin C e todo lambdain[0,1], a combinação
z = lambda x + (1-lambda)y
também pertence a C.

Passo 2

Mostrando que H é convexo. Seja x,yin H e lambdain[0,1]. Como x e y estão em H, temos
p^tx = k e p^ty = k
Considere
z = lambda x + (1-lambda)y
Então, pela linearidade de p^t(cdot),
p^tz = p^tl(lambda x + (1-lambda)yr) = lambda,p^tx + (1-lambda),p^ty = lambda k + (1-lambda)k = k
Logo zin H, e portanto H é convexo.

Passo 3

Mostrando que H^+ é convexo. Seja x,yin H^+ e lambdain[0,1]. Da definição de H^+ segue
p^tx <= k e p^ty <= k
Para
z = lambda x + (1-lambda)y
temos novamente, pela linearidade,
p^tz = lambda,p^tx + (1-lambda),p^ty <= lambda k + (1-lambda)k = k
Assim zin H^+, mostrando que H^+ é convexo.

Resposta

Ambos H e H^+ são conjuntos convexos.

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