Determine e esboce o domínio das funções, obtendo o domínio e a imagem.
F(x, y)=raizx-y ln (x+y)

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio e a imagem da função de duas variáveis F(x,y)=raizx-y,ln(x+y). Para isso, vamos usar as condições de existência da raiz quadrada e do logaritmo.

Passo 2

A raiz quadrada raizx-y exige x-y>=0, isto é, y<= x. O logaritmo ln(x+y) exige x+y>0, ou seja, y>-x. Combinando as duas condições, o domínio é o conjunto
D=(x,y)in R^2:;y<= xe y>-x

Passo 3

Para esboçar D, desenhe no plano cartesiano as retas y=x (inclusive) e y=-x (exclusiva). O domínio fica entre essas duas retas, abaixo de y=x e acima de y=-x.

Passo 4

Para achar a imagem, observe que podemos definir novas variáveis u=x-y>=0 e v=x+y>0. A função fica
F=raizu,ln v

Passo 5

Escolhendo por exemplo u=1, temos F=ln v, e como v>0 faz ln v percorrer R, concluímos que a imagem de F é todo R.

Resposta

Domínio: D=(x,y)in R^2:;y<= x,;y>-x. Imagem: R.

Exercícios relacionados