Seja S a superfície formada pela interseção de S1, S2 e S3, onde S1 é o cilindro de equação x^2+y^2=1, S2 é o disco de equação x^2+y^2 <= 1 no plano z=0 e S3 o plano de equação z=1+x. Note que S1 é a lateral de S, S2 é a base de S e S3 é o topo de S.
Calcule ru times rv para cada superfície.

Passo 1

Temos três superfícies que formam a região S: o cilindro lateral S₁ dado por x²+y²=1, o disco S₂ no plano z=0 com x²+y²≤1, e o topo S₃ dado pelo plano z=1+x. O que a questão pede é calcular o vetor normal dado por rutimesrv para cada parametrização dessas superfícies.

Passo 2

Para S₁ (lateral do cilindro) usamos coordenadas cilíndricas:
r(u,v) = (cos u,,sin u,,v),
onde uin[0,2pi] e v varia entre 0 e o valor da interseção com o plano z=1+cos u, embora para o cálculo de rutimesrv só precisemos da forma geral. Calculando as derivadas parciais:
ru = (-sin u,,cos u,,0),rv = (0,,0,,1)

Passo 3

O produto vetorial fica:
ru times rv = (cos u,,sin u,,0)

Passo 4

Para S₂ (disco no plano z=0) usamos coordenadas polares:
r(r,theta) = (rcostheta,,rsintheta,,0),
com rin[0,1] e thetain[0,2pi]. As derivadas são
rr = (costheta,,sintheta,,0),rtheta = (-rsintheta,,rcostheta,,0)

Passo 5

O produto vetorial é
rr times rtheta = (0,,0,,r)

Passo 6

Para S₃ (plano z=1+x) parametrizamos como gráfico de função:
r(u,v) = (u,,v,,1+u),
onde (u,v) varia no disco u^2+v^2<=1. As derivadas são
ru = (1,,0,,1),rv = (0,,1,,0)

Passo 7

O produto vetorial resulta em
ru times rv = (-1,,0,,1)

Resposta

Para S₁: rutimesrv=(cos u,,sin u,,0);
Para S₂: rrtimesrtheta=(0,,0,,r);
Para S₃: rutimesrv=(-1,,0,,1).

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