Seja
a superfície formada pela interseção de
e
, onde
é o cilindro de equação
é o disco de equação
no plano
e
o plano de equação
. Note que
é a lateral de
é a base de
e
é o topo de
.
Calcule
para cada superfície.
Calcule
Passo 1
Temos três superfícies que formam a região S: o cilindro lateral S₁ dado por x²+y²=1, o disco S₂ no plano z=0 com x²+y²≤1, e o topo S₃ dado pelo plano z=1+x. O que a questão pede é calcular o vetor normal dado por
para cada parametrização dessas superfícies.
Passo 2
Para S₁ (lateral do cilindro) usamos coordenadas cilíndricas:
onde
Passo 3
O produto vetorial fica:
Passo 4
Para S₂ (disco no plano z=0) usamos coordenadas polares:
com
Passo 5
O produto vetorial é
Passo 6
Para S₃ (plano z=1+x) parametrizamos como gráfico de função:
onde
Passo 7
O produto vetorial resulta em
Resposta
Para S₁:
;
Para S₂: ;
Para S₃: .
Para S₂:
Para S₃: