Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
O conteúdo é resolver a parte homogênea com o ansatz
e depois encontrar uma solução particular. Para isto usaremos também a mudança de variável
que transforma a equação de Euler–Cauchy numa equação a coeficientes constantes em
.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
. Então
e ao substituir em
vem
A equação característica é
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para achar a parte particular fazemos
, de modo que
Substituindo em
obtemos
Passo 4
A equação
é linear a coeficientes constantes com termo não homogêneo polinomial de grau 1. Então tentamos
Calculando
e substituindo:
Comparando coeficientes vem
Portanto
e voltando a
,
Passo 5
A solução geral da equação original é