Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+3 y=ln x, x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y''-3x y'+3y=ln x, x>0
O conteúdo é resolver a parte homogênea com o ansatz y=x^r e depois encontrar uma solução particular. Para isto usaremos também a mudança de variável
t=ln x,
que transforma a equação de Euler–Cauchy numa equação a coeficientes constantes em t.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos yh=x^r. Então
y'=r x^r-1, y''=r(r-1)x^r-2,
e ao substituir em
x^2y''-3x y'+3y=0
vem
x^2l(r(r-1)x^r-2r)-3xl(r x^r-1r)+3x^r=0 ;Longrightarrow; r(r-1)-3r+3=0
A equação característica é
r^2-4r+3=0Longrightarrow r=1 ou r=3
Logo a solução homogênea é
yh = C1 x + C2 x^3

Passo 3

Para achar a parte particular fazemos t=ln x, de modo que
dydx=1xyt, d^2ydx^2=1x^2l(ytt-ytr)
Substituindo em
x^2y''-3x y'+3y=ln x,
obtemos
ytt-yt-3yt+3y = t ;Longrightarrow; ytt-4yt+3y = t

Passo 4

A equação
ytt-4yt+3y = t
é linear a coeficientes constantes com termo não homogêneo polinomial de grau 1. Então tentamos
yp(t)=A,t+B
Calculando
yp' = A, yp'' = 0
e substituindo:
0 -4A + 3,(A t + B) ;=; t ;Longrightarrow; 3A,t + (3B-4A) = 1cdot t + 0
Comparando coeficientes vem
3A=1 Rightarrow A=tfrac13, 3B-4A=0 Rightarrow B=tfrac49
Portanto
yp(t)=13,t+49,
e voltando a x,
yp(x)=13ln x + 49

Passo 5

A solução geral da equação original é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 x + C2 x^3 + 13ln x + 49

Resposta

y(x) = C1 x + C2 x^3 + 13ln x + 49

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