Mostre que as funções a seguir não são analíticas em nenhum ponto do plano complexo.
f(z)=z-5 \bar{z}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(z)=z-5\bar{z}
não é analítica em nenhum ponto do plano. Vamos usar as condições de Cauchy–Riemann, que são necessárias e suficientes para a diferenciabilidade complexa quando u e v têm derivadas parciais contínuas.

Passo 2

Escrevendo z em coordenadas reais, z=x+iy e \bar{z}=x-iy. Substituindo em f, obtemos
f(x,y)=(x+iy)-5(x-iy)=x+iy-5x+5iy=-4x+i\,6y.

Passo 3

Da expressão em coordenadas reais, identificamos as componentes real e imaginária:
u(x,y)=-4x, \qquad v(x,y)=6y.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
u_x=-4,\quad u_y=0, \qquad v_x=0,\quad v_y=6.
As condições de Cauchy–Riemann exigem
u_x=v_y \quad\text{e}\quad u_y=-v_x.
Aqui vemos que u_x=-4\neq6=v_y, então a primeira condição falha em todo ponto.

Passo 5

Como as condições de Cauchy–Riemann não são satisfeitas em nenhum (x,y), a função f não é diferenciável complexa em nenhum ponto e, portanto, não é analítica em nenhuma região do plano.

Resposta

A função f(z)=z-5\bar{z} não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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