Mostre que as funções a seguir não são analíticas em nenhum ponto do plano complexo.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
não é analítica em nenhum ponto do plano. Vamos usar as condições de Cauchy–Riemann, que são necessárias e suficientes para a diferenciabilidade complexa quando
e
têm derivadas parciais contínuas.
Passo 2
Escrevendo
em coordenadas reais,
e
. Substituindo em
, obtemos
Passo 3
Da expressão em coordenadas reais, identificamos as componentes real e imaginária:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
As condições de Cauchy–Riemann exigem
Aqui vemos que
, então a primeira condição falha em todo ponto.
Passo 5
Como as condições de Cauchy–Riemann não são satisfeitas em nenhum
, a função
não é diferenciável complexa em nenhum ponto e, portanto, não é analítica em nenhuma região do plano.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.