Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
Onde wé a altura da onda, x é a variável distância ao longo da superficie do mar, t é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que
satisfaz a equação da onda
O conteúdo aqui é: derivadas parciais e regra da cadeia. Vamos usar que funções do tipo
têm segunda derivada em
igual a
vezes a segunda em
, e depois explorar a linearidade (soma de soluções também é solução).
Passo 2
Primeiro pega a parte .
- Derivada em
:
- Segunda derivada em
:
- Derivada em
:
- Segunda derivada em
:
Logo
Isso mostra que satisfaz a equação da onda.
Passo 3
Agora a parte
. Seja
.
- Derivada em
:
- Segunda derivada em
:
- Derivada em
:
- Segunda derivada em
:
Logo
Passo 4
Como a equação da onda é linear, a soma de duas soluções também é solução. A gente mostrou que
Portanto
Resposta
Assim,
satisfaz de fato
.