Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
partial^2 wpartial t^2=c^2 partial^2 wpartial x^2
Onde wé a altura da onda, x é a variável distância ao longo da superficie do mar, t é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
w=ser(x+c t)+cos (2 x+2 c t)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que
satisfaz a equação da onda
w(x,t) ;=;ser(x+ct);+;cosl(2x + 2ctr)
O conteúdo aqui é: derivadas parciais e regra da cadeia. Vamos usar que funções do tipo partial^2 wpartial t^2 ;=; c^2,partial^2 wpartial x^2 têm segunda derivada em igual a vezes a segunda em , e depois explorar a linearidade (soma de soluções também é solução).

Passo 2

Primeiro pega a parte .
  • Derivada em utt = c^2,ser''(x+ct) = c^2,uxx :
  • Segunda derivada em :
  • Derivada em :
  • Segunda derivada em :
Logo
Isso mostra que satisfaz a equação da onda.

Passo 3

Agora a parte vtt = -4c^2cos(2x+2ct) = c^2,l(-4cos(2x+2ct)r) = c^2,vxx . Seja .
  • Derivada em :
  • Segunda derivada em :
  • Derivada em :
  • Segunda derivada em :
Logo

Passo 4

Como a equação da onda é linear, a soma de duas soluções também é solução. A gente mostrou que
utt=c^2,uxx e vtt=c^2,vxx
Portanto
w = u + v Longrightarrow wtt = utt+vtt = c^2(uxx+vxx) = c^2,wxx

Resposta

Assim,
satisfaz de fato
w(x,t) = ser(x+ct) + cosl(2x+2ctr) .

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