Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
Onde wé a altura da onda, x é a variável distância ao longo da superficie do mar, t é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de onda que descreve como as ondas se comportam no mar. A equação é:
Aqui, $ w $ representa a altura da onda, $ x $ é a distância ao longo da superfície do mar, $ t $ é o tempo, e $ c $ é a velocidade com que as ondas se propagam.
A função que a gente quer verificar se é solução dessa equação é:
Vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação a $ t $ e $ x $, e depois verificar se elas satisfazem a equação de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ w $ em relação ao tempo $ t $. Lembre-se que $ \operatorname{sen}(u) $ derivado em relação a $ u $ é $ \operatorname{cos}(u) $.
Então, a primeira derivada de $ w $ em relação a $ t $ é:
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ w $ em relação a $ t $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ w $ em relação à distância $ x $.
Primeira derivada de $ w $ em relação a $ x $:
E a segunda derivada de $ w $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora que temos as duas derivadas parciais, vamos substituir na equação de onda e ver se ela é satisfeita.
A equação de onda é:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando:
Os dois lados são iguais, então a função satisfaz a equação de onda.
Resposta
A função $ w = \operatorname{sen}(x + c t) $ é, de fato, uma solução da equação de onda dada.