Mostre que as funções a seguir são todas soluções da equação de onda.
partial^2 wpartial t^2=c^2 partial^2 wpartial x^2
Onde wé a altura da onda, x é a variável distância ao longo da superficie do mar, t é a variável tempo e c é a velocidade com a qual as ondas se propagam.
w=ser(x+c t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de onda que descreve como as ondas se comportam no mar. A equação é:
partial^2 wpartial t^2 = c^2 partial^2 wpartial x^2
Aqui, $ w $ representa a altura da onda, $ x $ é a distância ao longo da superfície do mar, $ t $ é o tempo, e $ c $ é a velocidade com que as ondas se propagam.
A função que a gente quer verificar se é solução dessa equação é:
w
Vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação a $ t $ e $ x $, e depois verificar se elas satisfazem a equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ w $ em relação ao tempo $ t $. Lembre-se que $ \operatorname{sen}(u) $ derivado em relação a $ u $ é $ \operatorname{cos}(u) $.
Então, a primeira derivada de $ w $ em relação a $ t $ é:
w
Agora, vamos calcular a segunda derivada de $ w $ em relação a $ t $:
t

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ w $ em relação à distância $ x $.
Primeira derivada de $ w $ em relação a $ x $:
w
E a segunda derivada de $ w $ em relação a $ x $:
x

Passo 4

Agora que temos as duas derivadas parciais, vamos substituir na equação de onda e ver se ela é satisfeita.
A equação de onda é:
partial^2 wpartial t^2 = c^2 partial^2 wpartial x^2
Substituindo as derivadas que calculamos:
- c^2 sen(x + c t) = c^2 (- sen(x + c t))
Simplificando:
- c^2 sen(x + c t) = - c^2 sen(x + c t)
Os dois lados são iguais, então a função satisfaz a equação de onda.

Resposta

A função $ w = \operatorname{sen}(x + c t) $ é, de fato, uma solução da equação de onda dada.

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