Mostre que as funções y_{1}(x)=-2, y_{2}(x)=\operatorname{sen} x e y_{3}(x)=3 \cos x são soluções LI da edo y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=0 e determine sua solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de terceira ordem
As perguntas são: (i) mostrar que y_{1},y_{2},y_{3} são soluções linearmente independentes (LI) da equação; (ii) determinar a solução geral da equação diferencial.
Passo 2
Verificar que cada função é solução consiste em calcular derivadas até a terceira e substituir em y'''+y'. Vou fazer isso uma por uma, com calma.
Resumo: todas as três funções são soluções da equação diferencial.
Passo 3
Agora precisamos mostrar que as três soluções são linearmente independentes. Uma forma prática é calcular o wronskiano W(y_{1},y_{2},y_{3})(x). Para três funções o wronskiano é o determinante
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, obtemos
\begin{aligned} \begin{vmatrix} \cos x & -3\sin x \\\\ -\sin x & -3\cos x \end{vmatrix} &= -3. \end{aligned}
Portanto
W(x)=(-2)\cdot(-3)=6.
Passo 5
Interpretação do resultado do wronskiano: encontramos W(x)=6 para todo x, ou seja, o wronskiano é constante e diferente de zero (6\neq 0). Para equações lineares homogêneas, se o wronskiano de um conjunto de n soluções de ordem n não é zero em algum ponto (aqui não é zero em nenhum ponto), então essas soluções são linearmente independentes. Assim concluímos que y_{1},y_{2},y_{3} são linearmente independentes.
Uma observação útil: como temos três soluções LI de uma equação de ordem três, elas formam uma base do espaço das soluções, então a solução geral será uma combinação linear dessas três.
Passo 6
Determinar a solução geral por um método padrão (polinômio característico). Para a equação
y''' + y' = 0
assumimos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{3}+r=0.
Fatorando:
r(r^{2}+1)=0.
Logo as raízes são
r=0,\qquad r=i,\qquad r=-i.
Da teoria, a raiz r=0 dá solução constante 1 e as raízes complexas conjugadas r=\pm i dão as soluções reais \cos x e \sin x. Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias reais.
Como checagem rápida: as funções dadas estão relacionadas a essas básicas por escalações: y_{1}=-2 é múltiplo de 1 e y_{3}=3\cos x é múltiplo de \cos x. Assim também podemos escrever a solução geral como combinação linear das funções dadas:
y(x)=A\,y_{1}(x)+B\,y_{2}(x)+C\,y_{3}(x),
com constantes A,B,C (que se relacionam com C_{1},C_{2},C_{3} por C_{1}=-2A,\;C_{2}=3C,\;C_{3}=B).
Resposta
As funções y_{1},y_{2},y_{3} são soluções linearmente independentes (Wronskiano W(x)=6\neq 0).\nA solução geral é y(x)=C_{1}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x.