Mostre que as funções y_{1}(x)=-2, y_{2}(x)=\operatorname{sen} x e y_{3}(x)=3 \cos x são soluções LI da edo y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=0 e determine sua solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de terceira ordem
y''' + y' = 0
e as três funções
y_{1}(x) = -2,\qquad y_{2}(x)=\sin x,\qquad y_{3}(x)=3\cos x.
As perguntas são: (i) mostrar que y_{1},y_{2},y_{3} são soluções linearmente independentes (LI) da equação; (ii) determinar a solução geral da equação diferencial.

Passo 2

Verificar que cada função é solução consiste em calcular derivadas até a terceira e substituir em y'''+y'. Vou fazer isso uma por uma, com calma.
Para y_{1}(x)=-2:
y_{1}'(x)=0,\qquad y_{1}''(x)=0,\qquad y_{1}'''(x)=0.
Substituindo em y'''+y':
y_{1}''' + y_{1}' = 0 + 0 = 0,
logo y_{1} satisfaz a equação.
Para y_{2}(x)=\sin x:
y_{2}'(x)=\cos x,\qquad y_{2}''(x)=-\sin x,\qquad y_{2}'''(x)=-\cos x.
Substituindo:
y_{2}''' + y_{2}' = -\cos x + \cos x = 0,
portanto y_{2} também satisfaz a equação.
Para y_{3}(x)=3\cos x:
y_{3}'(x)=-3\sin x,\qquad y_{3}''(x)=-3\cos x,\qquad y_{3}'''(x)=3\sin x.
Substituindo:
y_{3}''' + y_{3}' = 3\sin x - 3\sin x = 0,
logo y_{3} é solução também.
Resumo: todas as três funções são soluções da equação diferencial.

Passo 3

Agora precisamos mostrar que as três soluções são linearmente independentes. Uma forma prática é calcular o wronskiano W(y_{1},y_{2},y_{3})(x). Para três funções o wronskiano é o determinante
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} \\\ y_{1}' & y_{2}' & y_{3}' \\\ y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}'' \end{vmatrix}.
Substituindo as funções e suas derivadas (que já calculei no passo anterior), temos
W(x)= \begin{vmatrix} -2 & \sin x & 3\cos x \\\\ 0 & \cos x & -3\sin x \\\\ 0 & -\sin x & -3\cos x \end{vmatrix}.

Passo 4

Calculo do determinante: como a primeira coluna tem zeros nas linhas 2 e 3, expandimos pela primeira coluna (cofactor da entrada -2 na posição (1,1)):
W(x)=(-2)\cdot \begin{vmatrix} \cos x & -3\sin x \\\\ -\sin x & -3\cos x \end{vmatrix}.
Agora o determinante 2\times2 é
\cos x\cdot(-3\cos x) - (-3\sin x)\cdot(-\sin x) = -3\cos^{2}x - 3\sin^{2}x = -3(\cos^{2}x+\sin^{2}x).
Usando a identidade trigonométrica \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, obtemos
\begin{aligned} \begin{vmatrix} \cos x & -3\sin x \\\\ -\sin x & -3\cos x \end{vmatrix} &= -3. \end{aligned}
Portanto
W(x)=(-2)\cdot(-3)=6.

Passo 5

Interpretação do resultado do wronskiano: encontramos W(x)=6 para todo x, ou seja, o wronskiano é constante e diferente de zero ( 6\neq 0). Para equações lineares homogêneas, se o wronskiano de um conjunto de n soluções de ordem n não é zero em algum ponto (aqui não é zero em nenhum ponto), então essas soluções são linearmente independentes. Assim concluímos que y_{1},y_{2},y_{3} são linearmente independentes.
Uma observação útil: como temos três soluções LI de uma equação de ordem três, elas formam uma base do espaço das soluções, então a solução geral será uma combinação linear dessas três.

Passo 6

Determinar a solução geral por um método padrão (polinômio característico). Para a equação
y''' + y' = 0
assumimos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{3}+r=0.
Fatorando:
r(r^{2}+1)=0.
Logo as raízes são
r=0,\qquad r=i,\qquad r=-i.
Da teoria, a raiz r=0 dá solução constante 1 e as raízes complexas conjugadas r=\pm i dão as soluções reais \cos x e \sin x. Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias reais.
Como checagem rápida: as funções dadas estão relacionadas a essas básicas por escalações: y_{1}=-2 é múltiplo de 1 e y_{3}=3\cos x é múltiplo de \cos x. Assim também podemos escrever a solução geral como combinação linear das funções dadas:
y(x)=A\,y_{1}(x)+B\,y_{2}(x)+C\,y_{3}(x),
com constantes A,B,C (que se relacionam com C_{1},C_{2},C_{3} por C_{1}=-2A,\;C_{2}=3C,\;C_{3}=B).

Resposta

As funções y_{1},y_{2},y_{3} são soluções linearmente independentes (Wronskiano W(x)=6\neq 0).\nA solução geral é y(x)=C_{1}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x.

Exercícios relacionados