Mostre que as funcóres abaixo, dependentes de constantes arbitrárias
, satisfazem as correspondentes equações diferenciais ordinárias. Classifique estas equaçáes de acordo à sua linearidade:
;
Passo 1
O enunciado fornece:
- A função dependente da constante arbitrária
:
- A equação diferencial a verificar:
O que é pedido:
- Mostrar que a função dada satisfaz a equação diferencial indicada (ou seja, substituir e verificar que a igualdade é verdadeira para todo
). - Classificar a equação diferencial quanto à linearidade (dizer se é linear ou não e justificar).
Passo 2
Entender e calcular a derivada
.
- A notação
significa derivada de em relação a : . - Como
é uma função afim em (coeficiente é constante), a derivada em relação a é simplesmente o coeficiente de :
Explanação didática rápida: a derivada de
é
quando
são constantes, porque a taxa de variação é constante.
Passo 3
Calcular cada termo da equação substituindo
e
.
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Agora somar todos os termos na expressão da equação:
Passo 4
Fazer as simplificações algébricas passo a passo:
Agrupando termos semelhantes:
-
cancela com . -
soma com dá . -
soma com dá .
Logo o somatório é
. Portanto, após a substituição obtemos exatamente
ou seja, a função
satisfaz a equação dada para qualquer constante
.
Passo 5
Classificação quanto à linearidade (explicação didática):
- Definição prática: uma equação diferencial é linear (de ordem
) se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e
dependem apenas da variável independente
(não dependem de
nem de suas potências ou produtos entre si). Em outras palavras, as incógnitas
e suas derivadas aparecem apenas em termos lineares (sem potências, produtos entre derivadas, etc.).
- Exemplos para fixar a ideia:
- Linear de primeira ordem:
. - Não linear:
(porque aparece ). - Não linear também:
(produto entre e ).
- Linear de primeira ordem:
- Aplicando ao nosso caso: a equação contém o termo
, isto é, a derivada aparece elevada ao quadrado. Isso é uma não-linearidade (aparecem potências da derivada), portanto a equação não é linear. - Ordem da equação: o maior número de derivadas presentes é a primeira derivada
, logo trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem.
Resposta
A função
satisfaz a equação
.\nA equação é não linear e de primeira ordem.