Mostre que as funcóres abaixo, dependentes de constantes arbitrárias C, C_{1}, C_{2}, satisfazem as correspondentes equações diferenciais ordinárias. Classifique estas equaçáes de acordo à sua linearidade:
\mu=c \cdot t+c-c^{2} ; \dot{\mu}^{2}-\dot{\mu}-t \dot{\mu}+\mu=0

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função dependente da constante arbitrária c:
\mu(t)=c\cdot t + c - c^{2}.
  • A equação diferencial a verificar:
\dot{\mu}^{2}-\dot{\mu}-t\,\dot{\mu}+\mu=0.
O que é pedido:
  1. Mostrar que a função dada satisfaz a equação diferencial indicada (ou seja, substituir e verificar que a igualdade é verdadeira para todo t).
  2. Classificar a equação diferencial quanto à linearidade (dizer se é linear ou não e justificar).

Passo 2

Entender e calcular a derivada \dot{\mu}.
  • A notação \dot{\mu} significa derivada de \mu em relação a t: \dot{\mu}(t)=\dfrac{d\mu}{dt}.
  • Como \mu(t)=c t + c - c^{2} é uma função afim em t (coeficiente c é constante), a derivada em relação a t é simplesmente o coeficiente de t:
\dot{\mu}(t)=c.
Explanação didática rápida: a derivada de a t + b é a quando a,b são constantes, porque a taxa de variação é constante.

Passo 3

Calcular cada termo da equação substituindo \dot{\mu}=c e \mu=c t + c - c^{2}.
  • Primeiro termo:
\dot{\mu}^{2}=c^{2}.
  • Segundo termo:
-\dot{\mu}=-c.
  • Terceiro termo:
- t\,\dot{\mu} = -t\cdot c = -c t.
  • Quarto termo:
\mu = c t + c - c^{2}.
Agora somar todos os termos na expressão da equação:
\dot{\mu}^{2}-\dot{\mu}-t\,\dot{\mu}+\mu = c^{2} - c - c t + (c t + c - c^{2}).

Passo 4

Fazer as simplificações algébricas passo a passo:
c^{2} - c - c t + (c t + c - c^{2}) = c^{2} - c - c t + c t + c - c^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
  • c^{2} cancela com -c^{2}.
  • -c soma com +c 0.
  • -c t soma com +c t 0.
Logo o somatório é 0. Portanto, após a substituição obtemos exatamente
\dot{\mu}^{2}-\dot{\mu}-t\,\dot{\mu}+\mu=0,
ou seja, a função \mu(t)=c t + c - c^{2} satisfaz a equação dada para qualquer constante c.

Passo 5

Classificação quanto à linearidade (explicação didática):
  • Definição prática: uma equação diferencial é linear (de ordem n) se pode ser escrita na forma
a_n(t)\,y^{(n)} + a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,\dot{y} + a_0(t)\,y = g(t),
onde os coeficientes a_k(t) e g(t) dependem apenas da variável independente t (não dependem de y nem de suas potências ou produtos entre si). Em outras palavras, as incógnitas y e suas derivadas aparecem apenas em termos lineares (sem potências, produtos entre derivadas, etc.).
  • Exemplos para fixar a ideia:
    • Linear de primeira ordem: \dot{y}+p(t)y=q(t).
    • Não linear: \dot{y}^{2}+y=0 (porque aparece \dot{y}^{2}).
    • Não linear também: y\dot{y}=t (produto entre y e \dot{y}).
  • Aplicando ao nosso caso: a equação contém o termo \dot{\mu}^{2}, isto é, a derivada aparece elevada ao quadrado. Isso é uma não-linearidade (aparecem potências da derivada), portanto a equação não é linear.
  • Ordem da equação: o maior número de derivadas presentes é a primeira derivada \dot{\mu}, logo trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem.

Resposta

A função \mu(t)=c\,t + c - c^{2} satisfaz a equação \dot{\mu}^{2}-\dot{\mu}-t\,\dot{\mu}+\mu=0.\nA equação é não linear e de primeira ordem.

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