Cascalho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de
, de modo que o diâmetro do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de
.
Passo 1
O enunciado diz que cascalho forma uma pilha cônica cujo volume aumenta à taxa
. Também informa que o diâmetro do cone é sempre igual à sua altura. A pergunta é: encontrar a taxa de variação da altura da pilha, isto é
, quando a altura é
.
Informações relevantes fornecidas:
-
. - Diâmetro
altura se é a altura então o raio satisfaz . - Pedem
no instante em que .
Passo 2
Definimos as variáveis e a fórmula que relaciona volume e dimensões do cone:
-
= volume do cone em função do tempo. -
= altura do cone em função do tempo. -
= raio da base do cone em função do tempo.
A fórmula do volume de um cone é
onde:
-
é o volume ( ), -
é o raio da base ( ), -
é a altura ( ), -
é a constante .
Vou usar essa fórmula porque relaciona diretamente
,
e
.
Passo 3
Usamos a condição do enunciado que liga raio e altura: o diâmetro é igual à altura, então
Substituímos isso na fórmula do volume para escrever
só em função de
. Primeiro calculamos
:
Agora substituímos em
:
Portanto temos
em função de
:
Passo 4
Diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo
para relacionar
e
. Ao diferenciar uma função composta
usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
.
Derivando
obtemos
Simplificando o coeficiente
, chega-se a
Passo 5
Isolamos
na expressão anterior:
Agora substituímos os valores fornecidos:
e
:
Podemos simplificar a fração
. A unidade fica
.
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: o resultado positivo indica que a altura está aumentando (faz sentido, porque o volume aumenta). A ordem de grandeza também é razoável: cerca de alguns décimos de metro por minuto.