Cascalho está caindo e formando uma pilha cônica que aumenta a uma taxa de 3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}, de modo que o diâmetro do cone é sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variação da altura da pilha quando a altura é de 3 m.

Passo 1

O enunciado diz que cascalho forma uma pilha cônica cujo volume aumenta à taxa \dfrac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m^{3}/min}. Também informa que o diâmetro do cone é sempre igual à sua altura. A pergunta é: encontrar a taxa de variação da altura da pilha, isto é \dfrac{dh}{dt}, quando a altura é h=3\\ \mathrm{m}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \dfrac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m^{3}/min}.
  • Diâmetro = altura \Rightarrow se h é a altura então o raio r satisfaz r=\dfrac{h}{2}.
  • Pedem \dfrac{dh}{dt} no instante em que h=3\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Definimos as variáveis e a fórmula que relaciona volume e dimensões do cone:
  • V(t) = volume do cone em função do tempo.
  • h(t) = altura do cone em função do tempo.
  • r(t) = raio da base do cone em função do tempo.
A fórmula do volume de um cone é
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,
onde:
  • V é o volume ( \mathrm{m^{3}}),
  • r é o raio da base ( \mathrm{m}),
  • h é a altura ( \mathrm{m}),
  • \pi é a constante \approx 3{,}14159.
Vou usar essa fórmula porque relaciona diretamente V, r e h.

Passo 3

Usamos a condição do enunciado que liga raio e altura: o diâmetro é igual à altura, então
r=\frac{h}{2}.
Substituímos isso na fórmula do volume para escrever V só em função de h. Primeiro calculamos r^{2}:
r^{2}=\left(\frac{h}{2}\right)^{2}=\frac{h^{2}}{4}.
Agora substituímos em V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h:
V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{h^{2}}{4}\right)h=\frac{1}{12}\pi h^{3}.
Portanto temos V em função de h:
V(h)=\frac{1}{12}\pi h^{3}.

Passo 4

Diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo t para relacionar \dfrac{dV}{dt} e \dfrac{dh}{dt}. Ao diferenciar uma função composta h(t)^{3} usamos a regra da cadeia: a derivada de h^{3} em relação a t é 3h^{2}\dfrac{dh}{dt}.
Derivando V=\dfrac{1}{12}\pi h^{3} obtemos
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{12}\pi\cdot 3h^{2}\frac{dh}{dt}.
Simplificando o coeficiente \dfrac{1}{12}\cdot 3=\dfrac{1}{4}, chega-se a
\frac{dV}{dt}=\frac{1}{4}\pi h^{2}\frac{dh}{dt}.

Passo 5

Isolamos \dfrac{dh}{dt} na expressão anterior:
\frac{dh}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}}{\dfrac{1}{4}\pi h^{2}}=\frac{4}{\pi h^{2}}\frac{dV}{dt}.
Agora substituímos os valores fornecidos: \dfrac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m^{3}/min} e h=3\\ \mathrm{m}:
\frac{dh}{dt}=\frac{4}{\pi\cdot 3^{2}}\cdot 3 = \frac{4\cdot 3}{\pi\cdot 9}=\frac{12}{9\pi}.
Podemos simplificar a fração \dfrac{12}{9\pi}=\dfrac{4}{3\pi}. A unidade fica \mathrm{m/min}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: o resultado positivo indica que a altura está aumentando (faz sentido, porque o volume aumenta). A ordem de grandeza também é razoável: cerca de alguns décimos de metro por minuto.

Resposta

\dfrac{4}{3\pi}\\ \mathrm{m/min} (aproximadamente 0,4244\\ \mathrm{m/min})

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