Mostre que
gamma(s)=r(t0)+1kappa N+1kappa((sin kappa s) T-(cos kappa s) N)
é uma parametrização pelo comprimento de arco do círculo osculador em r(t0).

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos uma curva r(t) e no ponto r(t0) seu raio de curvatura é 1/kappa e os vetores unitários tangente e normal são T e N. Queremos mostrar que a curva
gamma(s)= r(t0)+1kappa, N+1kappal(sin(kappa s), T-cos(kappa s), Nr)
é uma parametrização pelo comprimento de arco do círculo osculador em r(t0).

Passo 2

O centro C do círculo osculador em r(t0) é
C= r(t0)+1kappa, N
e o raio é R=1/kappa. Note que avalia-mos T e N em t0, então são vetores fixos na parametrização s.

Passo 3

Para ver que gamma(s) fica sobre esse círculo, calculemos
gamma(s)-C=1kappal(sin(kappa s), T-cos(kappa s), Nr)
e a distância ao centro é
|gamma(s)-C|=1kapparaizsin^2(kappa s)+cos^2(kappa s)=1kappa=R

Passo 4

Agora vamos mostrar que s é de fato o comprimento de arco, ou seja, |gamma'(s)|=1. Diferenciando:
gamma'(s)=1kappal(kappacos(kappa s), T+kappasin(kappa s), Nr)=cos(kappa s), T+sin(kappa s), N
Como T e N são unitários e ortogonais, temos
|gamma'(s)|=raizcos^2(kappa s)+sin^2(kappa s)=1

Passo 5

Precisamos também verificar que gamma(0)= r(t0). De fato,
gamma(0)= r(t0)+1kappa, N+1kappa(0cdot T-1cdot N)= r(t0)

Passo 6

Como gamma(s) permanece no círculo de raio 1/kappa com centro em r(t0)+ N/kappa, tem |gamma'(s)|=1 e começa em r(t0), concluímos que gamma(s) é uma parametrização pelo comprimento de arco do círculo osculador.

Resposta

Logo, gamma(s) é de fato uma parametrização pelo comprimento de arco do círculo osculador em r(t0).

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