Mostre que
é uma parametrização pelo comprimento de arco do círculo osculador em
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos uma curva
e no ponto
seu raio de curvatura é
e os vetores unitários tangente e normal são
e
. Queremos mostrar que a curva
é uma parametrização pelo comprimento de arco do círculo osculador em
.
Passo 2
O centro
do círculo osculador em
é
e o raio é
. Note que avalia-mos
e
em
, então são vetores fixos na parametrização
.
Passo 3
Para ver que
fica sobre esse círculo, calculemos
e a distância ao centro é
Passo 4
Agora vamos mostrar que
é de fato o comprimento de arco, ou seja,
. Diferenciando:
Como
e
são unitários e ortogonais, temos
Passo 5
Precisamos também verificar que
. De fato,
Passo 6
Como
permanece no círculo de raio
com centro em
, tem
e começa em
, concluímos que
é uma parametrização pelo comprimento de arco do círculo osculador.
Resposta
Logo,
é de fato uma parametrização pelo comprimento de arco do círculo osculador em
.