Mostre que o gauge de Coulomb não é invariante por transformações de Lorentz.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que a condição do gauge de Coulomb, dada por nablacdotA=0, não se mantém sob transformações de Lorentz. Esse problema envolve teoria de campos eletromagnéticos e a forma como o quadrivetor potencial A^mu=(phi,A) se comporta sob um boost.

Passo 2

Na gauge de Coulomb impomos
nablacdotA=0, A^0=phi,
mas não há restrição sobre partialtphi. Em notação covariante, isso equivale a impor apenas a parte espacial da condição partialmu A^mu=0.

Passo 3

Sob uma transformação de Lorentz (boost) ao longo de x, o quadrivetor potencial transforma como
A'^0 = gammal(A^0 - tfracvcA^1r), A'^1 = gammal(A^1 - tfracvcA^0r), A'^2=A^2, A'^3=A^3,
onde gamma=1/raiz1-v^2/c^2.

Passo 4

Mesmo que em um dado referencial partialiA^i=0, no referencial boostado a divergência espacial é
partial'iA'^i =partial'1A'^1+partial'2A'^2+partial'3A'^3
Por exemplo, suponha que originalmente A^1=0. Então
A'^1=-gamma,vc,phi,
e
partial'1A'^1 =-gamma,vc,partial'1phi =-gamma,vc,partial x^mupartial x'^1,partialmuphi =-gamma^2v^2c^3,partialtphi,
que em geral não é zero, pois partialtphi não está restringido pelo gauge de Coulomb.

Passo 5

Portanto em geral
partial'iA'^ineq0,
ou seja, após o boost a divergência espacial do potencial não se anula. Isso mostra que a condição nablacdotA=0 não é preservada por transformações de Lorentz.

Resposta

O gauge de Coulomb, definido por nablacdotA=0, não é invariante sob transformações de Lorentz, pois ao aplicar um boost surge um termo não nulo na divergência espacial do potencial transformado.

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