Mostre que o gauge de Coulomb não é invariante por transformações de Lorentz.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que a condição do gauge de Coulomb, dada por
, não se mantém sob transformações de Lorentz. Esse problema envolve teoria de campos eletromagnéticos e a forma como o quadrivetor potencial
se comporta sob um boost.
Passo 2
Na gauge de Coulomb impomos
mas não há restrição sobre
. Em notação covariante, isso equivale a impor apenas a parte espacial da condição
.
Passo 3
Sob uma transformação de Lorentz (boost) ao longo de
, o quadrivetor potencial transforma como
onde
.
Passo 4
Mesmo que em um dado referencial
, no referencial boostado a divergência espacial é
Por exemplo, suponha que originalmente
. Então
e
que em geral não é zero, pois
não está restringido pelo gauge de Coulomb.
Passo 5
Portanto em geral
ou seja, após o boost a divergência espacial do potencial não se anula. Isso mostra que a condição
não é preservada por transformações de Lorentz.
Resposta
O gauge de Coulomb, definido por
, não é invariante sob transformações de Lorentz, pois ao aplicar um boost surge um termo não nulo na divergência espacial do potencial transformado.