(a) Mostre que e formam uma base para .
(b) Por que têm que ser linearmente dependente?
(c) Qual a dimensão de ?
Passo 1
O enunciado dá três vetores em :
e pede (a) mostrar que e formam base de , (b) explicar por que são linearmente dependentes e (c) encontrar a dimensão de . Vamos usar conceitos de independência, determinante e dimensão de espaço vetorial.
Passo 2
Para ver que e formam base, basta mostrar que eles são linearmente independentes e geram . Colocando-os como colunas de uma matriz , temos
Como o determinante é não nulo, essas colunas são independentes e, em R^2, qualquer par de vetores independentes gera todo o espaço. Logo, x1,x2 é base de R^2.
Passo 3
Em R^2 a dimensão máxima de um conjunto independente é 2. Como aqui temos três vetores x1,x2,x3, não é possível que todos três sejam independentes, ou seja, eles são necessariamente linearmente dependentes. Alternativamente, um conjunto com mais vetores que a dimensão do espaço é sempre linearmente dependente.
Passo 4
O subespaço gerado por x1,x2,x3 coincide com o gerado por x1,x2, pois x3 fica no mesmo R^2 e estes já formam base. Logo
l[x1,x2,x3r] =R^2
e a sua dimensão é
diml([x1,x2,x3]r)=2
Resposta
(a) x1,x2 forma base de R^2 porque o determinante da matriz l[,x1;x2r] é 2neq0.
(b) Eles são linearmente dependentes pois em R^2 não cabem três vetores independentes.
(c) diml([x1,x2,x3]r)=2.