Considere os vetores
x1=binom21, x2=binom43, x3=binom7-3
(a) Mostre que x1 e x2 formam uma base para R^2.
(b) Por que x1, x2, x3 têm que ser linearmente dependente?
(c) Qual a dimensão de [x1, x2, x3] ?

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^2:
x1=binom21, x2=binom43, x3=binom7-3,
e pede (a) mostrar que x1 e x2 formam base de R^2, (b) explicar por que x1,x2,x3 são linearmente dependentes e (c) encontrar a dimensão de l[x1,x2,x3r]. Vamos usar conceitos de independência, determinante e dimensão de espaço vetorial.

Passo 2

Para ver que x1 e x2 formam base, basta mostrar que eles são linearmente independentes e geram R^2. Colocando-os como colunas de uma matriz 2times 2, temos
det2 & 4 1 & 3 = 2 cdot 3 - 4 cdot 1 = 6 - 4 = 2 neq 0
Como o determinante é não nulo, essas colunas são independentes e, em R^2, qualquer par de vetores independentes gera todo o espaço. Logo, x1,x2 é base de R^2.

Passo 3

Em R^2 a dimensão máxima de um conjunto independente é 2. Como aqui temos três vetores x1,x2,x3, não é possível que todos três sejam independentes, ou seja, eles são necessariamente linearmente dependentes. Alternativamente, um conjunto com mais vetores que a dimensão do espaço é sempre linearmente dependente.

Passo 4

O subespaço gerado por x1,x2,x3 coincide com o gerado por x1,x2, pois x3 fica no mesmo R^2 e estes já formam base. Logo
l[x1,x2,x3r] =R^2
e a sua dimensão é
diml([x1,x2,x3]r)=2

Resposta

(a) x1,x2 forma base de R^2 porque o determinante da matriz l[,x1;x2r] é 2neq0.
(b) Eles são linearmente dependentes pois em R^2 não cabem três vetores independentes.
(c) diml([x1,x2,x3]r)=2.

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