Mostre que o gráfico de f(x, y)=sen(x+y)+cos (x+y) é uma superfície limitada por planos paralelos. Qual é a menor distância entre dois planos paralelos que limitam a superfície?

Passo 1

Nesse exercício vamos analisar o gráfico da função z = f(x,y) = sin(x+y) + cos(x+y). O conteúdo da matéria aqui envolve identificar o valor máximo e mínimo de uma soma de funções trigonométricas para encontrar planos paralelos que limitem a superfície.

Passo 2

Definindo t = x+y, reescrevemos a soma usando identidade trigonométrica. Usamos a identidade
sin t + cos t = raiz2,sinl(t + pi4r)
Assim, f(x,y) = raiz2,sinl((x+y) + tfracpi4r), que varia entre -raiz2 e +raiz2.

Passo 3

Como o valor máximo de z é +raiz2 e o mínimo é -raiz2, concluímos que a superfície fica limitada pelos dois planos paralelos ao plano xy:
z = raiz2
e
z = -raiz2

Passo 4

Para calcular a menor distância entre esses planos, lembramos que para planos da forma z = c1 e z = c2 com normal unitário (0,0,1), a distância é
|c1 - c2|raiz0^2+0^2+1^2 = |c1 - c2|
Aqui |raiz2 - (-raiz2)| = 2raiz2.

Resposta

2raiz2

Exercícios relacionados