Resolva
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que envolvem derivadas de funções. Para resolver essa equação, vamos precisar rearranjá-la de forma que possamos integrar ambos os lados e encontrar a relação entre $ y $ e $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar os termos para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Vamos trazer todos os termos envolvendo $ dx $ para um lado e os termos com $ dy $ para o outro:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o $ dx $ no lado direito da equação:
Isso nos ajuda a ver melhor como as variáveis estão relacionadas.
Passo 4
A próxima etapa é tentar separar as variáveis $ y $ e $ x $. Vamos dividir ambos os lados por $ y^{2} $ e por $ (x - 2 y^{3}) $:
Isso nos dá uma expressão para a derivada de $ y $ em termos de $ x $ e $ y $.
Passo 5
Agora, notamos que a equação pode não ser exata ou facilmente separável, então vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos propor que $ u = y^{k} $, onde $ k $ é escolhido para facilitar a equação. Observando os termos, vamos tentar $ u = y^{-2} $.
Então,
Passo 6
Substituindo $ \frac{dy}{dx} $ da equação original na expressão de $ \frac{du}{dx} $:
Isso ainda parece complicado, então talvez uma abordagem diferente seja necessária.
Passo 7
Vamos tentar reorganizar a equação original novamente:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, não linear. Podemos tentar usar um fator integrante ou outra técnica, mas para simplificar, vamos assumir que pode ser resolvida por separação de variáveis.
Passo 8
Vamos rearranjar para separar $ y $ e $ x $:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 9
A integral do lado direito é simples:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 10
Agora, a integral do lado esquerdo é mais complicada e pode não ter uma solução elementar. Portanto, podemos deixar a resposta na forma implícita:
Isso significa que a relação entre $ y $ e $ x $ está definida por essa equação.
Resposta
A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde $ C $ é a constante de integração.