Mostre que um grupo de ordem 108 tem um subgrupo normal de ordem 9 ou 27.
Passo 1
O enunciado pede: seja um grupo com . Mostre que tem um subgrupo normal de ordem ou . Vamos usar o Teorema de Sylow e, se necessário, uma ação por conjugação para produzir um subgrupo normal de ordem .
Passo 2
Pelo Teorema de Sylow, o número de Sylow-3-subgrupos, digamos , satisfaz
logo as únicas possibilidades são
Se , então existe um único Sylow-3-subgrupo de ordem , e por ser único ele é normal em . Aí temos o subgrupo normal de ordem .
Passo 3
Suponha agora . Denote esses Sylow-3-subgrupos por
cada um de ordem . Considere a ação de por conjugação no conjunto . Isso define um homomorfismo
onde envia em .
O núcleo de é
que é normal em (é a interseção de subgrupos fechada por conjugação). Pelo Teorema do Homomorfismo temos
logo
Passo 4
Como |P1|=27, o índice lvert P1:kervarphirvert deve dividir gcd(27,24)=3. Logo
lvert P1:kervarphirvertin1,3
– Se lvert P1:kervarphirvert=1, então kervarphi=P1 e P1 é normal em G, dando subgrupo de ordem 27.
– Se lvert P1:kervarphirvert=3, então lvertkervarphirvert=27/3=9, e kervarphi é um subgrupo normal de ordem 9.
Em qualquer dos casos encontramos o subgrupo normal de ordem 9 ou 27.
Resposta
O grupo G possui um subgrupo normal de ordem 27 (quando o Sylow-3 é único) ou de ordem 9 (no caso contrário).