Mostre que um grupo de ordem 108 tem um subgrupo normal de ordem 9 ou 27.

Passo 1

O enunciado pede: seja G um grupo com lvert Grvert=108=2^2cdot3^3. Mostre que G tem um subgrupo normal de ordem 9 ou 27. Vamos usar o Teorema de Sylow e, se necessário, uma ação por conjugação para produzir um subgrupo normal de ordem 9.

Passo 2

Pelo Teorema de Sylow, o número de Sylow-3-subgrupos, digamos n3, satisfaz
n3 mid 2^2 e n3equiv1pmod3,
logo as únicas possibilidades são
n3=1 ou n3=4
Se n3=1, então existe um único Sylow-3-subgrupo P de ordem 3^3=27, e por ser único ele é normal em G. Aí temos o subgrupo normal de ordem 27.

Passo 3

Suponha agora . Denote esses Sylow-3-subgrupos por
cada um de ordem . Considere a ação de por conjugação no conjunto . Isso define um homomorfismo
onde envia em .
O núcleo de é
que é normal em (é a interseção de subgrupos fechada por conjugação). Pelo Teorema do Homomorfismo temos
logo

Passo 4

Como |P1|=27, o índice lvert P1:kervarphirvert deve dividir gcd(27,24)=3. Logo
lvert P1:kervarphirvertin1,3
– Se lvert P1:kervarphirvert=1, então kervarphi=P1 e P1 é normal em G, dando subgrupo de ordem 27.
– Se lvert P1:kervarphirvert=3, então lvertkervarphirvert=27/3=9, e kervarphi é um subgrupo normal de ordem 9.
Em qualquer dos casos encontramos o subgrupo normal de ordem 9 ou 27.

Resposta

O grupo G possui um subgrupo normal de ordem 27 (quando o Sylow-3 é único) ou de ordem 9 (no caso contrário).

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