Mostre que não existem grupo simples de ordem 200.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe nenhum grupo simples de ordem
. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Sylow, que dá condições sobre o número de subgrupos de ordem máxima de potências de um primo (os Sylow-
-subgrupos). Vamos usar esse teorema para encontrar um subgrupo normal não trivial em qualquer grupo de ordem
.
Passo 2
Primeiro, fazemos a fatoração em primos de
:
Pelo Teorema de Sylow, o número
de Sylow-5-subgrupos em um grupo
de ordem
satisfaz
Passo 3
Os divisores de
são
. Dessas opções, o único valor que é congruente a
módulo
é
Passo 4
Como
, há exatamente um Sylow-5-subgrupo em
. Um subgrupo Sylow-
único é necessariamente normal em
. Logo
possui um subgrupo normal de ordem
, que é próprio (nem trivial nem todo o grupo).
Resposta
Não existe grupo simples de ordem
, pois qualquer grupo dessa ordem tem um Sylow-5-subgrupo único e, portanto, normal.