Mostre que não existem grupo simples de ordem 200.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe nenhum grupo simples de ordem 200. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Sylow, que dá condições sobre o número de subgrupos de ordem máxima de potências de um primo (os Sylow- p-subgrupos). Vamos usar esse teorema para encontrar um subgrupo normal não trivial em qualquer grupo de ordem 200.

Passo 2

Primeiro, fazemos a fatoração em primos de 200:
200 = 2^3 cdot 5^2
Pelo Teorema de Sylow, o número n5 de Sylow-5-subgrupos em um grupo G de ordem 200 satisfaz
n5 equiv 1 pmod5 e n5 mid 2^3 = 8

Passo 3

Os divisores de 8 são 1,2,4,8. Dessas opções, o único valor que é congruente a 1 módulo 5 é
n5 = 1

Passo 4

Como n5 = 1, há exatamente um Sylow-5-subgrupo em G. Um subgrupo Sylow- p único é necessariamente normal em G. Logo G possui um subgrupo normal de ordem 5^2=25, que é próprio (nem trivial nem todo o grupo).

Resposta

Não existe grupo simples de ordem 200, pois qualquer grupo dessa ordem tem um Sylow-5-subgrupo único e, portanto, normal.

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