Seja
um grupo de ordem 340. Prove que
tem um subgrupo cíclico normal de ordem 85 e um subgrupo abeliano de ordem 4.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo finito de ordem
Queremos usar o Teorema de Sylow para produzir
- um subgrupo normal e cíclico de ordem
, - um subgrupo abeliano de ordem
.
Passo 2
Aplicamos Sylow para o primo
. Seja
o número de subgrupos de Sylow-
. Então
Os divisores de
são
, e o único que é congruente a
módulo
é
. Logo
isto é, existe exatamente um subgrupo de ordem
, que portanto é normal em
. Denotemos esse subgrupo por
.
Passo 3
Analogamente, para o primo
seja
o número de subgrupos de Sylow-
. Então
Os divisores de
são
, e o único congruente a
módulo
é
. Logo
isto é, existe exatamente um subgrupo de ordem
, que também é normal em
. Chamemos esse subgrupo de
.
Passo 4
Como
e
são subgrupos normais de ordens coprimas (
e
), o produto
é um subgrupo de
de ordem
e é normal em
. Além disso,
e
são cíclicos (são grupos de ordem primo), e como
, o produto interno de dois grupos cíclicos de ordens coprimas é cíclico. Logo
isto é,
é cíclico de ordem
e normal em
.
Passo 5
Para completar, olhamos o sylow-2-subgrupo. A maior potência de
que divide
é
, logo existe pelo menos um subgrupo de Sylow-
de ordem
. Qualquer grupo de ordem
é abeliano (pois ou é isomorfo a
ou a
). Assim
tem um subgrupo abeliano de ordem
.
Resposta
Mostramos que
(a) existe um subgrupo normal e cíclico de ordem ,
(b) existe um subgrupo abeliano de ordem .
(a) existe um subgrupo normal e cíclico de ordem
(b) existe um subgrupo abeliano de ordem