Seja G um grupo de ordem 340. Prove que G tem um subgrupo cíclico normal de ordem 85 e um subgrupo abeliano de ordem 4.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo finito de ordem
|G| = 340 = 2^2 cdot 5 cdot 17
Queremos usar o Teorema de Sylow para produzir
  1. um subgrupo normal e cíclico de ordem 85 = 5cdot17,
  2. um subgrupo abeliano de ordem 4 = 2^2.

Passo 2

Aplicamos Sylow para o primo 5. Seja n5 o número de subgrupos de Sylow- 5. Então
n5 equiv 1 pmod5 e n5 mid 3405 = 68
Os divisores de 68 são 1,2,4,17,34,68, e o único que é congruente a 1 módulo 5 é 1. Logo
n5 = 1,
isto é, existe exatamente um subgrupo de ordem 5, que portanto é normal em G. Denotemos esse subgrupo por P5.

Passo 3

Analogamente, para o primo 17 seja n17 o número de subgrupos de Sylow- 17. Então
n17 equiv 1 pmod17 e n17 mid 34017 = 20
Os divisores de 20 são 1,2,4,5,10,20, e o único congruente a 1 módulo 17 é 1. Logo
n17 = 1,
isto é, existe exatamente um subgrupo de ordem 17, que também é normal em G. Chamemos esse subgrupo de P17.

Passo 4

Como P5 e P17 são subgrupos normais de ordens coprimas ( 5 e 17), o produto
H = P5,P17
é um subgrupo de G de ordem
|H| = |P5|cdot|P17| = 5cdot17 = 85,
e é normal em G. Além disso, P5 e P17 são cíclicos (são grupos de ordem primo), e como gcd(5,17)=1, o produto interno de dois grupos cíclicos de ordens coprimas é cíclico. Logo
H cong C5 times C17 cong C85,
isto é, H é cíclico de ordem 85 e normal em G.

Passo 5

Para completar, olhamos o sylow-2-subgrupo. A maior potência de 2 que divide |G| é 2^2=4, logo existe pelo menos um subgrupo de Sylow- 2 de ordem 4. Qualquer grupo de ordem 4 é abeliano (pois ou é isomorfo a C4 ou a C2times C2). Assim G tem um subgrupo abeliano de ordem 4.

Resposta

Mostramos que
(a) existe um subgrupo normal e cíclico de ordem 85,
(b) existe um subgrupo abeliano de ordem 4.

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