Prove que se
é um grupo de ordem 56, então
tem um 2-subgrupo de Sylow normal ou um 7 -subgrupo de Sylow normal.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo finito com
Pelo Teorema de Sylow, vamos chamar de
o número de 2–Sylow e de
o número de 7–Sylow em
. Nosso objetivo é mostrar que pelo menos um deles é igual a 1, ou seja, é único e portanto normal.
Passo 2
Aplicando as restrições de Sylow temos:
-
divide e . Assim
-
divide e . Assim
Logo as únicas possibilidades são
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
e
.
Cada 7–Sylow é um subgrupo cíclico de ordem 7, que tem 6 elementos de ordem 7 além da identidade. Dois 7–Sylow distintos intersectam-se apenas na identidade, pois toda interseção de subgrupos de ordem primo é trivial. Portanto a união de todos os 8 subgrupos de ordem 7 tem
Cada 7–Sylow é um subgrupo cíclico de ordem 7, que tem 6 elementos de ordem 7 além da identidade. Dois 7–Sylow distintos intersectam-se apenas na identidade, pois toda interseção de subgrupos de ordem primo é trivial. Portanto a união de todos os 8 subgrupos de ordem 7 tem
elementos distintos. Assim restam em
exatamente
elementos fora dos Sylow–7.
Por outro lado, cada 2–Sylow tem ordem 8, ou seja, 7 elementos não identicamente a 1. Se houvessem 7 subgrupos de ordem 8, cada um teria 7 “não-1” e eles só poderiam se apoiar nesses 7 elementos restantes, o que forçaria todos esses Sylow–2 a coincidirem, contra
. Em outras palavras, não há espaço para sete subgrupos distintos de ordem 8 sem ultrapassar o total de 56 elementos. Isso é uma contradição com
.
Passo 4
Da contradição acima, não é possível ter simultaneamente
e
. Logo pelo menos um dos números de Sylow deve ser 1:
Se
, o único 7–Sylow é normal. Se
, o único 2–Sylow é normal.
Resposta
Concluímos que
tem ou um 2–subgrupo de Sylow normal (
) ou um 7–subgrupo de Sylow normal (
).