Mostre que se H tem dimensão infinita então BH não é compacta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço de Hilbert H de dimensão infinita, a bola fechada unitária
BH = xin H mid |x|<=1
não é compacta. Vamos usar o fato de que em espaços métricos (como H) a compacidade implica compacidade sequencial, isto é, toda sequência em BH deveria ter uma subsequência convergente.

Passo 2

Como contraposição, basta construir uma sequência em BH que não admita nenhuma subsequência convergente. Para isso, exploramos a existência de uma sequência ortonormal infinita em H, característica de espaços de dimensão infinita.

Passo 3

Num espaço de Hilbert de dimensão infinita sempre existe uma sequência ortonormal infinita enn=1^infty, com
lang<= en, emrang<= = 0 (nneq m), |en|=1forall n
Cada vetor en tem norma unitária, então enin BH.

Passo 4

Mostramos que a sequência ensubset BH não tem subsequência convergente. Se mneq n, então
|en - em|^2 = lang<= en - em,,en - emrang<= = |en|^2 + |em|^2 -2Relang<= en,emrang<= = 1 + 1 - 0 = 2
Logo
|en - em| = raiz2para nneq m
Isso significa que todos os pontos da sequência estão à mesma distância positiva um do outro, impedindo qualquer convergência (nem mesmo subsequencial).

Passo 5

Concluímos que en não possui nenhuma subsequência de Cauchy, logo não há subsequência convergente em H. Assim BH falha em ser sequencialmente compacto, e portanto não é compacto.

Resposta

BH não é compacto quando dim H=infty.

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