Mostre que se
tem dimensão infinita então
não é compacta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço de Hilbert
de dimensão infinita, a bola fechada unitária
não é compacta. Vamos usar o fato de que em espaços métricos (como
) a compacidade implica compacidade sequencial, isto é, toda sequência em
deveria ter uma subsequência convergente.
Passo 2
Como contraposição, basta construir uma sequência em
que não admita nenhuma subsequência convergente. Para isso, exploramos a existência de uma sequência ortonormal infinita em
, característica de espaços de dimensão infinita.
Passo 3
Num espaço de Hilbert de dimensão infinita sempre existe uma sequência ortonormal infinita
, com
Cada vetor
tem norma unitária, então
.
Passo 4
Mostramos que a sequência
não tem subsequência convergente. Se
, então
Logo
Isso significa que todos os pontos da sequência estão à mesma distância positiva um do outro, impedindo qualquer convergência (nem mesmo subsequencial).
Passo 5
Concluímos que
não possui nenhuma subsequência de Cauchy, logo não há subsequência convergente em
. Assim
falha em ser sequencialmente compacto, e portanto não é compacto.