Sejam X um espaço normado e Y um espaço de Banach. Se M um subespaço denso de X e T in L(M ; Y), mostre T admite uma única extensão contínua barT : X Y. Tal extensão é também linear e |barT|=|T|.
Sugestão: Para cada x in X tome uma sequência (xn) em M convergindo para x. Defina barT(x)=lim T(xn). Não se esqueça de mostrar que barT está bem definido.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear e contínuo
;Tcolon Mto Y; onde M é subespaço denso de X e Y é Banach.
O objetivo é estender T a todo X de modo contínuo, manter a linearidade e mostrar que
|bar T|=|T|. Vamos usar a completude de Y e a densidade de M em X.

Passo 2

Para cada xin X existe uma sequência (xn)subset M com
limntoinftyxn = x. Como T é contínuo em M, temos para n,m grandes:
|T(xn)-T(xm)|;<=;|T|;|xn-xm| ;longrightarrow;0
logo (T(xn)) é de Cauchy em Y. Pela completude de Y,
limntoinftyT(xn) existe. Definimos então
bar T(x);=;limntoinftyT(xn)
Para ver que bar T(x) não depende da escolha de (xn), basta repetir o argumento acima para duas sequências quaisquer que convergem a x, mostrando que seus limites em Y coincidem.

Passo 3

Para ver que bar T é linear, tomemos x,yin X e alpha,betainK.
Escolhemos (xn)subset M, (yn)subset M com xnto x, ynto y.
Então alpha xn+beta ynto alpha x+beta y e, pela linearidade de T,
bar T(alpha x+beta y) =limntoinftyT(alpha xn+beta yn) =limntoinfty(alpha,T(xn)+beta,T(yn)) =alpha,bar T(x)+beta,bar T(y)

Passo 4

Para a continuidade e igualdade de norma, note que
|bar T(x)| =limntoinfty|T(xn)| <=limntoinfty|T|;|xn| =|T|;|x|,
logo |bar T|<=|T|. Por outro lado, restringindo bar T a M voltamos a T, então |T|<=|bar T|. Concluímos
|bar T|=|T|,
e portanto bar T é contínua.

Passo 5

Para a unicidade, suponha que exista outra extensão contínua Scolon Xto Y com
S|M=T. Dado xin X e (xn)subset M convergente a x, pela continuidade de S temos
;S(x)=lim S(xn)=lim T(xn)=bar T(x).; Assim S=bar T.

Resposta

Existe uma única extensão contínua e linear
bar Tcolon Xto Y de T e além disso
|bar T|=|T|.

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