Sejam um espaço normado e um espaço de Banach. Se um subespaço denso de e , mostre admite uma única extensão contínua : . Tal extensão é também linear e .
Sugestão: Para cada tome uma sequência em convergindo para . Defina . Não se esqueça de mostrar que está bem definido.
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear e contínuo ; onde é subespaço denso de e é Banach.
O objetivo é estender a todo de modo contínuo, manter a linearidade e mostrar que . Vamos usar a completude de e a densidade de em .
Passo 2
Para cada existe uma sequência com . Como é contínuo em , temos para grandes:
logo (T(xn)) é de Cauchy em Y. Pela completude de Y, limntoinftyT(xn) existe. Definimos então
bar T(x);=;limntoinftyT(xn)
Para ver que bar T(x) não depende da escolha de (xn), basta repetir o argumento acima para duas sequências quaisquer que convergem a x, mostrando que seus limites em Y coincidem.
Passo 3
Para ver que bar T é linear, tomemos x,yin X e alpha,betainK.
Escolhemos (xn)subset M, (yn)subset M com xnto x, ynto y.
Então alpha xn+beta ynto alpha x+beta y e, pela linearidade de T,
logo |bar T|<=|T|. Por outro lado, restringindo bar T a M voltamos a T, então |T|<=|bar T|. Concluímos
|bar T|=|T|,
e portanto bar T é contínua.
Passo 5
Para a unicidade, suponha que exista outra extensão contínua Scolon Xto Y com S|M=T. Dado xin X e (xn)subset M convergente a x, pela continuidade de S temos ;S(x)=lim S(xn)=lim T(xn)=bar T(x).; Assim S=bar T.
Resposta
Existe uma única extensão contínua e linear bar Tcolon Xto Y de T e além disso |bar T|=|T|.