Mostre que todo subespaço fechado de ell2 ou tem dimensão finita, ou é isomorfo a ell2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um subespaço fechado Msubset ell2, ou M tem dimensão finita ou então existe um isomorfismo (isométrico) de espaços de Hilbert entre M e ell2. O conteúdo usado é a teoria de espaços de Hilbert separáveis: subespaços fechados admitem base ortonormal, e todo espaço de Hilbert separável infinito–dimensional é isométrico a ell2.

Passo 2

Se M for de dimensão finita, já terminamos: esse é precisamente um dos dois casos da conclusão. Suponha portanto que M seja infinito–dimensional.

Passo 3

Num espaço de Hilbert, podemos extrair de qualquer subespaço infinito–dimensional uma sequência infinita ortonormal por meio do processo de Gram-Schmidt. Logo existe enn=1^inftysubset M tal que
lang<= em,enrang<= = 0 (mneq n),
|en|=1 forall n,
e o fecho do span linear spanen:ninN = M.

Passo 4

Definimos a aplicação linear
T:ell2to M, Tl((an)n=1^inftyr) =sumn=1^inftyan,en
Como en é ortonormal, para todo (an)inell2 vale
l|T((an))r|^2 =l|sumnanenr|^2 =sumn|an|^2 =|(an)|ell2^2
Isto mostra que T é isométrico e, pela densidade do span de en em M, a imagem de T é exatamente M. Assim T é bijetivo de ell2 sobre M.

Passo 5

O operador T é um isomorfismo isométrico de espaços de Hilbert entre ell2 e M. Portanto concluímos que, se M é infinito–dimensional, então M é isomorfo a ell2.

Resposta

Mostramos que um subespaço fechado Msubsetell2 ou é finito–dimensional ou, caso contrário, admite uma base ortonormal numerável que gera todo M, fornecendo um operador isométrico bijetivo T:ell2to M. Portanto M é isomorfo a ell2.

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