Mostre que todo subespaço fechado de ou tem dimensão finita, ou é isomorfo a .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um subespaço fechado , ou tem dimensão finita ou então existe um isomorfismo (isométrico) de espaços de Hilbert entre e . O conteúdo usado é a teoria de espaços de Hilbert separáveis: subespaços fechados admitem base ortonormal, e todo espaço de Hilbert separável infinito–dimensional é isométrico a .
Passo 2
Se for de dimensão finita, já terminamos: esse é precisamente um dos dois casos da conclusão. Suponha portanto que seja infinito–dimensional.
Passo 3
Num espaço de Hilbert, podemos extrair de qualquer subespaço infinito–dimensional uma sequência infinita ortonormal por meio do processo de Gram-Schmidt. Logo existe tal que
Isto mostra que T é isométrico e, pela densidade do span de en em M, a imagem de T é exatamente M. Assim T é bijetivo de ell2 sobre M.
Passo 5
O operador T é um isomorfismo isométrico de espaços de Hilbert entre ell2 e M. Portanto concluímos que, se M é infinito–dimensional, então M é isomorfo a ell2.
Resposta
Mostramos que um subespaço fechado Msubsetell2 ou é finito–dimensional ou, caso contrário, admite uma base ortonormal numerável que gera todo M, fornecendo um operador isométrico bijetivo T:ell2to M. Portanto M é isomorfo a ell2.