4 Encontre os pontos da reta r: x-12=y=z2 que equidistam dos planos pi1:-2 x+3 y+4 z=33 e pi2:-3 x+4 y+2 z=3.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da reta
r:x-12=y=z2
que estão à mesma distância dos planos
pi1:-2x+3y+4z=33
e
pi2:-3x+4y+2z=3
O conteúdo aqui é parametrizar a reta, aplicar a fórmula da distância de um ponto a um plano e igualar essas distâncias.

Passo 2

Parametrizamos a reta definindo
x-12=y=z2=t
Assim
x=1+2t, y=t, z=2t,
e um ponto genérico da reta é
P(t)=(1+2t,;t,;2t)

Passo 3

A distância de P(t) ao plano pi1 vale
d1=l|-2x+3y+4z-33r|raiz(-2)^2+3^2+4^2 =l|-2(1+2t)+3t+4(2t)-33r|raiz29
e ao plano pi2 vale
d2=l|-3x+4y+2z-3r|raiz(-3)^2+4^2+2^2 =l|-3(1+2t)+4t+2(2t)-3r|raiz29
Como os denominadores são iguais ( raiz29), basta igualar os numeradores em valor absoluto:
l|-2(1+2t)+3t+8t-33r| =l|-3(1+2t)+4t+4t-3r|

Passo 4

Calculamos cada numerador:
-2(1+2t)+3t+8t-33=-2-4t+11t-33=7t-35,
-3(1+2t)+4t+4t-3=-3-6t+8t-3=2t-6
Logo a equação de distância é
l|7t-35r|=l|2t-6r|

Passo 5

Resolvendo lvert 7t-35rvert=lvert 2t-6rvert temos dois casos:
Caso 1:
7t-35=2t-6 Longrightarrow 5t=29 Longrightarrow t=tfrac295
Caso 2:
7t-35=-(2t-6) Longrightarrow 7t-35=-2t+6 Longrightarrow 9t=41 Longrightarrow t=tfrac419

Passo 6

Substituímos em P(t)=(1+2t,t,2t):
Para t=tfrac295:
x=1+2cdottfrac295=tfrac635, y=tfrac295, z=2cdottfrac295=tfrac585
Para t=tfrac419:
x=1+2cdottfrac419=tfrac919, y=tfrac419, z=2cdottfrac419=tfrac829

Resposta

l(tfrac635,,tfrac295,,tfrac585r) e l(tfrac919,,tfrac419,,tfrac829r).

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