Mostre que há pelo menos um número c para o qual o valor da função f(x)=x^3-8 x+3 é igual a cos 2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe pelo menos um número c tal que
f(c)=cos 2
onde f(x)=x^3-8x+3. Como f é um polinômio, ela é contínua em R. Logo, se definirmos
g(x)=f(x)-cos 2,
então g também é contínua, e o problema se reduz a provar que g tem raiz.

Passo 2

Definimos
g(x)=f(x)-cos 2 = x^3 - 8x + 3 - cos 2
Pelo Teorema do Valor Intermediário, bastará achar x=a e x=b tais que g(a) e g(b) tenham sinais opostos.

Passo 3

Vamos calcular g(0) e g(1):
g(0)=0^3-8cdot0+3-cos 2 = 3 - cos 2
Como -1<=cos 2<=1, temos
g(0)>= 3-1=2>0
g(1)=1^3-8cdot1+3-cos 2 = -4 - cos 2
E como -1<=cos 2<=1, segue
g(1)<= -4 -(-1) = -3<0

Passo 4

Visto que g(0)>0 e g(1)<0 e g é contínua, o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um cin(0,1) tal que
g(c)=0,
isto é,
f(c)=cos 2

Resposta

Foi demonstrado, via Teorema do Valor Intermediário, que existe cin(0,1) satisfazendo f(c)=cos 2.

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