Para que valor de x a função f(x)=sen(arccos (raizx)) tem reta tangente com inclinação -1?

Passo 1

O enunciado define
f(x)=sinl(arccos(raizx)r)
e pede o valor de x em que a reta tangente a f tem inclinação -1. Ou seja, queremos resolver
f'(x)=-1

Passo 2

Para simplificar f, use o fato de que, se theta=arccos(raizx), então costheta=raizx e
sintheta=raiz1-cos^2theta=raiz1-(raizx)^2=raiz1-x
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f(x)=raiz1-x

Passo 3

Agora derivamos f(x)= (1-x)^1/2 pela regra do expoente:
f'(x)=12(1-x)^-1/2cdot(-1) =-12raiz1-x

Passo 4

Impondo f'(x)=-1:
-12raiz1-x=-1 Longrightarrow 12raiz1-x=1 Longrightarrow raiz1-x=12 Longrightarrow 1-x=14 Longrightarrow x=34

Passo 5

Verifique o domínio original: como raizx aparece em arccos(raizx), precisamos de 0<= x<=1. E tfrac34 está nesse intervalo, logo é solução válida.

Resposta

34

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