Sejam C=(llc11 & c12 c21 & c22) e A=(A1, A2)=(lla11 & a12 a21 & a22), em que A1=(lla11 & a12) e A2=(lla21 & a22). Mostre que C A é a matriz cuja primeira linha é igual a c11 A1+c12 A2 e a segunda linha é igual a c21 A1+c22 A2, ou seja, C A=(c11 A1+c12 A2, c21 A1+c22 A2).

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
C=c11&c12[6pt]c21&c22
e
A=a11&a12[6pt]a21&a22 ,
e define as linhas de A por
A1=(a11,a12) e A2=(a21,a22) .
Queremos mostrar que, ao multiplicar C por A, a primeira linha de CA é
c11A1+c12A2 e a segunda linha é
c21A1+c22A2 .]

Passo 2

Recordando a definição de multiplicação de matrizes, o elemento na linha i e coluna j de CA é
(CA)ij ;=;sumk=1^2cik,akj
Isso significa que a linha i de CA é o vetor cujas entradas são l((CA)i1,,(CA)i2r).

Passo 3

Vamos calcular a primeira linha de CA. Para i=1 temos
(CA)11=c11a11+c12a21, (CA)12=c11a12+c12a22
Logo a primeira linha de CA é o vetor
l(c11a11+c12a21,;c11a12+c12a22r)
Mas esse vetor é exatamente
c11,(a11,a12)+c12,(a21,a22) = c11A1+c12A2

Passo 4

De forma análoga, para a segunda linha ( i=2) temos
(CA)21=c21a11+c22a21, (CA)22=c21a12+c22a22,
portanto a segunda linha de CA é
l(c21a11+c22a21,;c21a12+c22a22r) = c21A1+c22A2

Passo 5

Reunindo os resultados, obtemos
CA = c11A1+c12A2[4pt] c21A1+c22A2 ,
isto ,
CA = l(c11A1+c12A2,;c21A1+c22A2r) ]

Resposta

CA=l(c11A1+c12A2,;c21A1+c22A2r)

Exercícios relacionados